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Potenz einer Permutation

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Jule1990 aktiv_icon

20:07 Uhr, 16.11.2010

Hallo ihr lieben

Ich verzweifle langsam, aber vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen:)

gegeben ist eine Permutation a: 1234

2341 €S4

nun folgen diese aufgaben:

(b) Berechnen Sie alle Potenzen a^n, n€N.

das ganze bezieht sich immernoch auf die Anfangspermutation a.

lg Jule:)

HP7289 aktiv_icon

20:28 Uhr, 16.11.2010

Die

S_{4}

ist endlich. Das heißt, dass deine Permutation a von endlicher Ordnung ist. Das bedeutet wiederum, dass du nur endlich viele Potenzen ausrechnen musst, da sie sich ab einem bestimmten Punkt immer wiederholen.

Wo genau hast du Probleme?

Jule1990 aktiv_icon

20:35 Uhr, 16.11.2010

ja, aber wie genau rechne ich die Potenzen den aus?

lg Jule :)

HP7289 aktiv_icon

20:39 Uhr, 16.11.2010

Also

a^{1} = a

a^{2} = a o a

a^{3} = a^{2} o a = (a o a) o a

etc.

Jule1990 aktiv_icon

20:46 Uhr, 16.11.2010

hmm...

aber wie berechne ich den speziell zu meinem Fall die Potenz einer Permutation?

HP7289 aktiv_icon

20:47 Uhr, 16.11.2010

Gegenfrage: Weißt du, wie man die Verknüpfung zweier Permutation berechnet?

Also

o

bzw. die sogenannte Komposition.

Jule1990 aktiv_icon

20:49 Uhr, 16.11.2010

nein, leider ist das alles Neuland für mich.

HP7289 aktiv_icon

21:00 Uhr, 16.11.2010

Eine Permutation ist eine Abbildung/eine Funktion. Als Beispiel nehmen wir die

S_{4}

.

Das sind alle bijektiven Abbildungen von der Menge

{1,2,3,4}

in sich selbst.

Das bedeutet, dass jeder Zahl eine andere Zahl zugeordnet wird und die Zuordnung eindeutig ist.

a zum Beispiel:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix})

Deine Zuordnung ist also:

1 \to 2

2 \to 3

3 \to 4

4 \to 1

Wie du siehst, steht jede Zahl genau ein Mal auf der linken und genau ein Mal auf der rechten Seite. Das muss auch so sein, damit von einer Bijektion bzw. in diesem Fall von einer Permutation sprechen kann.

Die Verknüpfung zweier Permutation ist nun definiert als die Hintereinanderausführung.

Als Beispiel:

f o g

bedeutet, dass du erst

g

und dann

f

ausführst. Beachte, dass du von rechts nach links liest.

Setzen wir mal

f = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{matrix})

und

g = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{matrix})

Dann ist

f o g = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix})

und

g o f = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})

Es ist also sehr wichtig, in welcher Reihenfolge die Permutationen verknüpft werden.
Man spricht in dem Zusammenhang auch von einer nicht-abelschen Gruppe bzw. einer nicht-kommutativen Verknüpfung.

Das kannst du jetzt erst mal verdauen. ;-)

Jule1990 aktiv_icon

21:13 Uhr, 16.11.2010

ich verstehe nicht, welche Rechenschritte du gemacht hast, damit die Matrix f o g rauskommt, bzw g o f. Aber was sagt das jetzt über die Potenzen aus?

HP7289 aktiv_icon

21:18 Uhr, 16.11.2010

Erst mal musst du verstehen, was die Komposition ist. Sonst bringt das mit den Potenzen nichts.

Also nochmal:

Du kannst die Permutationen als Abbildungen lesen. Es gilt:

f (1) = 1

f (2) = 2

f (3) = 4

f (4) = 3

g (1) = 1

g (2) = 3

g (3) = 2

g (4) = 4

Demzufolge:

f (g (1)) = f (1) = 1

f (g (2)) = f (3) = 4

f (g (3)) = f (2) = 2

f (g (4)) = f (4) = 3

g (f (1)) = g (1) = 1

g (f (2)) = g (2) = 3

g (f (3)) = g (4) = 4

g (f (4)) = g (3) = 2

Jule1990 aktiv_icon

21:26 Uhr, 16.11.2010

Ah super:-)
Die Komposition habe ich jetzt drauf. Und wie wende ich diese Information für die Errechnung der Potenzen an?

HP7289 aktiv_icon

21:30 Uhr, 16.11.2010

Wie ich es oben beschrieben habe:

a^{1} = a

a^{2} = a o a

a^{3} = a^{2} o a = (a o a) o a

usw.

Jule1990 aktiv_icon

21:45 Uhr, 16.11.2010

ich habe das jetzt alles mit einander verkringelt bis irgendwann die gleiche matrix wieder rauskomt und habe damit vier verschiedene matritzen...gibt es damit also vier potenzen der permutation????

PS. danke, dass du mir so hilfst =)

HP7289 aktiv_icon

21:49 Uhr, 16.11.2010

Also zum einen müsstest du vier verschiedene Potenzen rausbekommen.

[

Nachtrag: Das gilt jetzt natürlich nicht mehr. ;-)]

Und zum anderen gibt es natürlich unendlich viele Potenzen, aber es gilt:

a^{k} = a^{k - 4}

für alle

k \in ℕ

.

Du kannst ja mal deine Zwischenergebnisse posten.

Jule1990 aktiv_icon

21:52 Uhr, 16.11.2010

also ich habe es so berechnet:

1234
2341

1234
3412

1234
4123

1234
1234

HP7289 aktiv_icon

21:53 Uhr, 16.11.2010

Richtig und ab

a^{5}

wiederholt sich alles.

Nun kannst du dich an der zweiten Aufgabe versuchen.

Jule1990 aktiv_icon

21:59 Uhr, 16.11.2010

zur nächsten aufgabe:

Sei ß bei mir(einfach frei gewählt)
1234
4321

dann kommt bei a o ß
1234
3214

und bei ß o a

1234
1324

raus. Also aß ungleich ßa, oder???

HP7289 aktiv_icon

22:05 Uhr, 16.11.2010

Prinzipiell funktioniert dein Beispiel. Leider hast du dich bei beiden verrechnet.

Jule1990 aktiv_icon

22:12 Uhr, 16.11.2010