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Potenz- und Wurzelgleichungen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Potenzrechnung

fussel20 aktiv_icon

10:59 Uhr, 10.11.2009

Ein überschlauer viertklässler sagt, wenn ich mein Alter quadriere, dann die Wurzel aus meinem Alter dazu addiere und die Summe davon mit 3 multipliziere, komme ich auf

252

. Wie alt bin ich?

Bitte helft mir ich brauche einen Ansatz mit Rechenweg und Lösung.
Ich bin schon fast am verzweifeln und denke wahrscheinlich viel zu kompliziert.

LG fussel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Leuchtturm aktiv_icon

11:14 Uhr, 10.11.2009

(x^{2} + \sqrt{x}) \cdot 3 = 252

Da es sich um einen überschlauen 4. Klässler handelt, wird er wohl 9 sein, da

10

das normale Alter eines 4. Klässlers ist...

Probe:

(9^{2} + \sqrt{9}) \cdot 3 = 252

g-zen aktiv_icon

11:19 Uhr, 10.11.2009

gelöscht

fussel20 aktiv_icon

11:21 Uhr, 10.11.2009

das er 9 ist das hab ich mir schon gedacht, ich hab auch schon eine Formel
(x^2*Wurzel2)*3=252 und komme auch drauf wenn ich 9 einsetze. Aber ich muss das ja auch nachweisen können und das klappt einfach nicht

g-zen aktiv_icon

11:27 Uhr, 10.11.2009

ich hatte eben versucht, eine Substitution als Ansatz zu nutzen:

z = \sqrt{x}

Dann ergibt sich

3 \cdot (z^{4} + z) = 252

. Man kann noch durch 3 teilen:

\Rightarrow z^{4} + z = 64

Leider geht hier keine Polynomdivision, da die Nullstelle nicht ganzzahlig ist und sich somit nicht raten lässt. Könnt ihr Taschenrechner oder Programme nutzen, die euch bei der Lösung eines Polynoms 4. Grades unterstützen?

Sonst müsste die Nullstelle mit Näherungsverfahren bestimmt werden - reichlich überzogen für einen Viertklässer ;-)

fussel20 aktiv_icon

11:32 Uhr, 10.11.2009

aber

252

durch 3 ist doch

84

und wenn ich dann in die Gleichung 9 einsetze komme ich schon drauf, also

9²=81
Wurzel aus

9 = 3

9 + 3 = 84

84 \cdot 3 = 252

das Ergebnis hab ich ja, aber ich weiß nicht wie ich die Gleichung umstellen soll das ich auch darauf komme.

g-zen aktiv_icon

11:38 Uhr, 10.11.2009

sorry, mein Fehler! natürlich muss

84

rauskommen. Dann klappt es auch. Man kann eine Nullstelle bei

z = 3

raten und damt eine Polynomdivision durchführen:

(z^{4} + z - 84) : (z - 3)

Diese muss ohne Rest aufgehen.

g-zen aktiv_icon

11:53 Uhr, 10.11.2009

Also nochmal im Zusammenhang:

3 \cdot (x^{2} + \sqrt{x}) = 252

\Rightarrow 3 x^{2} + 3 \sqrt{x} - 252 = 0

Substitution:

\sqrt{x} \to z

\Rightarrow 3 z^{4} + 3 z - 252 = 0

\Rightarrow z^{4} + z - 84 = 0

geratene Nullstelle

z = 3 \Rightarrow

Polynomdivision

: (z - 3)

(z^{4} + z - 84) : (z - 3) = z^{3} + 3 z^{2} + 9 z + 28

z^{4} - 3 z^{3}

- - - - - - - - -

3 z^{3} + z - 84

3 z^{3} - 9 z^{2}

- - - - - - - - - -

9 z^{2} + z - 84

9 z^{2} - 27 z

- - - - - - -

28 z - 84

28 z - 84

- - - - - -

fussel20 aktiv_icon

12:07 Uhr, 10.11.2009

tut mir leid ich kann dir irgendwie nicht folgen?

Was bedeutet das denn in der 1. Zeile über dem strich?

z^{4} - 3 z

wie kommst du dadrauf?

g-zen aktiv_icon

13:38 Uhr, 10.11.2009

Ich krieg es hier leider nicht hin, alles spaltengerecht übereinander zu schreiben. Die Polynomdivision funktioniert wie schriftliches Dividieren:

Schreib dir vielleicht mal die schriftliche Division für zb.

675 : 5

auf einen Zettel:
Dort betrachtet man erst die erste Ziffer, überlegt, wie oft 5 reinpasst (1mal) und schreibt es ins Ergebnis. Dann rechnet man rückwärts:

1 \cdot 5 = 5,

diese 5 schreibt man unter die erste Ziffer und zieht sie ab.

Dann hat man Rest

1,

holt zusätzlich die nächste Ziffer herunter, so dass dort

17

steht und überlegt dafür wieder von vorn...

So funktioniert es auch bei der Polynomdivision, nur dass hier auch

x

vorkommt.

Man untersucht zunächst nur den ersten Summanden

z^{4}

. Wenn man dies durch

(z - 3)

teilt, muss irgendwas mit

z^{3}

rauskommen. Also schreibe ich

z^{3}

ins Ergebnis. Beim Rückwärtsrechnen kommt das genaue Ergebnis unter die ursprüngliche Funktion:

z^{3} \cdot (z - 3) = z^{4} - 3 z^{3}

Das ist also das Zwischenergebnis über dem Strich und ich muss es von der Funktion oben drüber anziehen.

Statt der Stellen einer mehrzifferigen Zahl haben wir jetzt ein Polymon, in dem

z^{4}

und andere Potenzen von

z

vorkommen. Es ist darauf zu achten, dass man nur gleiche Potenzen voneinander abzeihen kann, kommt eine Potenz nicht vor, dann wird von Null abgezogen.

Es ist schwer, Polynomdivision ohne gutes Aufschreiben mit ein paar Worten zu erklären, ich hoffe, du kannst es nachvollziehen...

fussel20 aktiv_icon

14:05 Uhr, 10.11.2009

ja danke jetzt hab ich es kapiert aber wie komm ich denn dann auf mein ergebnis mit der

9,

weil da muss ich ja eigentlich drauf kommen

g-zen aktiv_icon

14:12 Uhr, 10.11.2009

ok, für die Gleichung

z^{4} + z - 84 = 0

haben wir nun als eine Lösung

z = 3

bestimmt.

(normalerweise müsste man auch das Restpolynom noch auf weitere mögliche Lösungen prüfen, doch mit der zusätzlichen Angabe des übereifrigen Viertklässlers kann man sich das glaub ich sparen. Es würde sich noch eine negative Lösung ergebn, die als Alter sowieso nicht in Frage kommt)

Das

z

ist aus der Substitution entstanden. Diesen mathematischen Trick müssen wir nun natürlich wieder rückgängig machen!

Substitution:

\sqrt{x} \to z

\Rightarrow

Rücksubstitution

z \to \sqrt{x}

dann steht da also:

z = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 3

quadrieren auf beiden Seiten führt zu

x = 9

:-)

fussel20 aktiv_icon

14:27 Uhr, 10.11.2009

Danke du hast mir echt geholfen ich hoffe das ich das als lösung hinschreiben kann, es blos um eigentlich banale addition, subtraktion, multiplikation und division, von polinomdivision stand nämlich nirgendwo etwas. Ich danke dir trotzdem.

ich dachte ich kann es einfach lösen indem ich sage:

(x²

+

wurzel

x) \cdot 3 = 252

\:3
(x²

+

wurzel

x) = 84

\²

x^{4} = 7056

x = 9,16515

kann man das auch so machen und dann sagen er ist 9

Leuchtturm aktiv_icon

14:31 Uhr, 10.11.2009

So wie du das am Ende gemacht hast, geht es bestimmt nicht.

fussel20 aktiv_icon

14:35 Uhr, 10.11.2009

kannst du mir sagen wie es sonst geht?

Leuchtturm aktiv_icon

14:42 Uhr, 10.11.2009

Meine Lösung steht bereits oben.

Ansonsten

(x^{2} + \sqrt{x}) 3 - 252

zerlegt in Faktoren:

3 \cdot (\sqrt{x} - 3) \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 3 x + 9 \sqrt{x} + 28)

Ein Produkt wird Null, wenn ein Faktor Null ist und wann

\sqrt{x} - 3

Null wird, kann man wohl sehen.
Das kannste aber alles getrost vergessen, wenn ihr nix mit Polynomendivision und sonen Zeugs machen sollt.

fussel20 aktiv_icon

14:46 Uhr, 10.11.2009

tja das weiß ich eben nicht so genau, in dem heft ging es um potenzen und wurzeln und binomische formeln und deren addition, subtraktion, multiplikation und division. Es kann schon sein das man das mit polynomdivision lösen muss aber erklärt war keine in dem heft.

Leuchtturm aktiv_icon

14:50 Uhr, 10.11.2009

Wenn du es nicht weißt, weiß ich es auch nicht. Meiner Meinung nach ist die Lösung so offensichtlich, das man wohl kaum mit aufwändigen Verfahren herumfummeln muss. Die Probe bestätigt das Ergebnis ja schließlich auch eindeutig.

fussel20 aktiv_icon

14:57 Uhr, 10.11.2009

ja das weiß ich schon, aber normalerweise muss man ja sein ergebnis durch eine rechnung belegen. Ich hab jetzt erst mal eine Frag an den Fachlehrer gestellt, mal sehen was der sagt, ob ergebnis und Formel reichen.

Ich danke euch beiden erst mal für die vielen Antworten LG Nadine

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