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Potenzgleichung lösen, ungleiche Basis + Exponent

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Tags: Funktion

OhNeinMathe aktiv_icon

00:16 Uhr, 24.09.2011

Ich habe eine Aufgabe, bei der

x

im Exponenten steht:

25 \cdot 15^{2 x} = 3^{x + 1} \cdot 5^{4 x}

25 \cdot 15^{2 x} = (3^{x} + 3) \cdot 5^{4 x}

Ich weiß jetzt nicht weiter. In den Zahlen steckt jeweils die 3 als Teiler drin, aber ich bekomme

15

beispielsweise nicht als 3^(irgendwas) geschrieben.
Soll ich auf alle Terme den Logarithmus anwenden? Das wird doch dann aber eine lange Gleichung. Kann man vorher noch etwas vereinfachen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DmitriJakov aktiv_icon

00:22 Uhr, 24.09.2011

Ich hoffe, das sind jetzt zwei verschiedene Aufgaben. Denn Gleichung 1 und Gleichgung 2 unterscheiden sich doch ziemlich stark :-)

Sagt Dir das logarithmieren irgendwas? Wenn ja, dann probier es mal :-D)

prodomo aktiv_icon

07:14 Uhr, 24.09.2011

Gleichung 2 ist hoffentlich kein Lösungsversuch für Gleichung

1,

so geht's nämlich nicht.
Logarithmieren heißt, von beiden Seiten der Gleichung die Logarithmen zu nehmen. Dabei gilt, dass

log (a^{b}) = b \cdot log (a)

ist und

log (x \cdot y) = log (x) + log (y)

. Das sind eigentlich die Potenzgesetze in anderer Darstellung. Vergiss Gleichung 2 und wende das Logarithmieren auf Gleichung 1 an.

Frosch1964 aktiv_icon

07:32 Uhr, 24.09.2011

evtl. hilft auch das weiter:

25 \cdot 15^{2 x} = 3^{x + 1} \cdot 5^{4 x}

5^{2} \cdot 3^{2 x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x} \cdot 3^{1} \cdot 5^{4 \cdot x}

da lässt sich dann schon einiges wegkürzen

OhNeinMathe aktiv_icon

10:05 Uhr, 24.09.2011

25 \cdot 15^{2 x} = 3^{x + 1} \cdot 5^{4 x}

5^{2} \cdot 3^{2 x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x} \cdot 3^{1} \cdot 5^{4 x}

log (5^{2}) \cdot log (3^{2 x}) \cdot log (5^{2 x}) = log (3^{x}) \cdot log (3^{1}) \cdot log (5^{4 x})

2 \cdot log (5) \cdot 2 x \cdot log (3) \cdot 2 x \cdot log (5) = x \cdot log (3) \cdot 1 \cdot log (3) \cdot 4 x \cdot log (5)

\frac{2 \cdot log (5)}{1 \cdot log (3)} = \frac{x \cdot log (3) \cdot 4 x \cdot log (5)}{2 x \cdot log (3) \cdot 2 x \cdot log (5)}

\frac{2 \cdot log (5)}{1 \cdot log (3)} = \frac{4 x^{2} \cdot log (3) \cdot log (5)}{4 x^{2} \cdot log (3) \cdot log (5)}

Nun verschwindet bei mir die rechte Seite zu 1. Ich habe kein

x

mehr. Habe ich etwas falsch gemacht?

DmitriJakov aktiv_icon

10:09 Uhr, 24.09.2011

Der Logarithmus macht aus einer Potenz eine Multiplikation und aus einer Multiplikation eine Addition:

5^{x} \cdot 3^{x}

wird nach dem logarithmieren zu:

log (5) \cdot x + log 3 \cdot x

OhNeinMathe aktiv_icon

11:52 Uhr, 24.09.2011

25 \cdot 15^{2 x} = 3^{x + 1} \cdot 5^{4 x}

5^{2} \cdot 3^{2 x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x} \cdot 3^{1} \cdot 5^{4 x}

log (5^{2}) + log (3^{2 x}) + log (5^{2 x}) = log (3^{x}) + log (3^{1}) + log (5^{4 x})

2 \cdot log (5) + 2 x \cdot log (3) + 2 x \cdot log (5) = x \cdot log (3) + 1 \cdot log (3) + 4 x \cdot log (5)

2 \cdot log (5) - 1 \cdot log (3) = x \cdot log (3) + 4 x \cdot log (5) - 2 x \cdot log (3) - 2 x \cdot log (5)

2 \cdot log (5) - 1 \cdot log (3) = x (log (3) + 4 \cdot log (5) - 2 \cdot log (3) - 2 \cdot log (5))

\frac{2 \cdot log (5) - 1 \cdot log (3)}{log (3) + 4 \cdot log (5) - 2 \cdot log (3) - 2 \cdot log (5)} = x

\frac{2 \cdot log (5) - 1 \cdot log (3)}{2 \cdot log (5) - 1 \cdot log (3)} = x

\frac{1}{1} = x

1 = x

Vielen Dank!

DmitriJakov aktiv_icon

11:58 Uhr, 24.09.2011

Mühsam nährt sich das Eichhörnchen ;-) Aber Du bist ans Ziel gekommen :-)

Gerd30.1 aktiv_icon

12:56 Uhr, 24.09.2011

es geht doch auch einfacher:

25 \cdot 15^{2 x} = 3^{x + 1} \cdot 5^{4 x}

5^{2} \cdot 5^{2 x} \cdot 3^{2 x} = 3^{x + 1} \cdot 5^{4 x}

=>Exponentenvergleich von

3 : 2 x + x + 1 \Rightarrow x = 1

=>Einsetzen in Exponenten von

5 : 5^{2} \cdot 5^{2} = 5^{4}!!

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