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Potenzial eines Vektorfeldes

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Tags: Sonstig

simplyme aktiv_icon

18:22 Uhr, 12.07.2017

Hallo,
kann mir jemand helfen.

Für welches Alpha besitzt $g$ ein Potential

$g_{α} = {(\begin{matrix} ln (y) \\ \frac{x \cdot {(α)}^{2}}{y} \end{matrix})}^{T}$

$J (g_{a}) (x, y) = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{y} \\ \frac{α^{2}}{y} & \frac{- α^{2} \cdot x}{y^{2}} \end{matrix})$
Also ich weiß, dass ein Potential existiert, wenn der Gradient=g ist

Also $0 = ln (y)$
$\frac{1}{y} = ln (y)$
$\frac{α^{2}}{y} = x \cdot \frac{{(α)}^{2}}{y}$
$- α^{2} \cdot \frac{x}{y^{2}} = x \cdot \frac{{(α)}^{2}}{y}$

Stimmt das? Und wenn ja wie bekomme ich $α$ heraus???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

korbinian aktiv_icon

19:18 Uhr, 12.07.2017

Hallo,

was meinst du mit Gradient=g? Gradient wovon?
Wozu bildest du die Jakobische?

Schlage folgenden Weg vor.
1. Welche $α$ kommen in Frage. Dazu: Kennst du eine notwendige Vorraussetzung für die Existenz eienes Potentials?
2.Wenn wir $α$ kennen, versuchen wir das Potential zu finden.
gruß
korbinian

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19:52 Uhr, 12.07.2017

Also ist die Bedingung nicht, dass ein Potential existiert, wenn der Gradient von $g$ wieder die Funktion $g$ ergibt. Oder?

korbinian aktiv_icon

19:57 Uhr, 12.07.2017

Hallo,

das kann so nicht stimmen. Gradienten gibt es doch nur von Skalarfeldern, also von Funktionen mit Zielmenge $ℝ$ . Bei deinem g ist die Zielmenge doch $ℝ^{2}$ .

gruß
korbinian

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20:09 Uhr, 12.07.2017

Ein Potenzial ist vorhanden, wenn die Rotation gleich null ist. Aber hier ist doch kein Kreuzprodukt möglich

korbinian aktiv_icon

20:15 Uhr, 12.07.2017

Hallo,
jetzt sind wir auf dem richtigen Weg.
Es gibt auch eine Bedingung für 2-dim Vektorfelder. Wenn du sie nicht kennst, kannst du sie auch selber herleiten: ergänze dein 2-dim Feld durch die 3. Komponente 0 zu einem 3-dim. Feld.
gruß
korbinian

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20:20 Uhr, 12.07.2017

Meinen Sie das jetzt so:

$(\begin{matrix} ln (y) \\ x \cdot \frac{a^{2}}{y} \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} δ_{x} \\ δ_{y} \\ 0 \end{matrix})$

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20:25 Uhr, 12.07.2017

Da kommt jetzt raus nach dem Kreuzprodukt:
$ln (y) \cdot δ_{y} - x \cdot \frac{a^{2}}{y} \cdot δ_{x} = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{y} - \frac{a^{2}}{y} = 0$

$\Rightarrow a^{2} = 1$

$\Rightarrow a_{1} = 1$ oder $a_{2} = - 1$

korbinian aktiv_icon

20:26 Uhr, 12.07.2017

Hallo,

normalerweise steht der Nablaoperator an 1. Stelle und seine 3. Komponente muss die ableitung nach z sein; da war meine vorherige Antwort wohl etas knapp, entschuldige.
gruß
korbinian

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20:30 Uhr, 12.07.2017

Achso ok. Also so:

$(\begin{matrix} ln (y) \\ x \cdot \frac{a^{2}}{y} \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix})$

korbinian aktiv_icon

20:32 Uhr, 12.07.2017

Hallo,
da haben sich unsere Antworten wohl überkreuzt. Deine Ergebnisse für a sind nun richtig. Aber deine Schreibweise finde ich ungewöhnlich. Schreibt ihr den Differentialoperator wirklich an 2. Stlle?
Nun sehen wir also, dass wir $α^{2}$ im Vektorfeld g durch 1 ersetzen können.
Wenn du dir nun die Definition des Potentials nochmal anschaust, siehst du dass du g "einfach" integrieren kannst.
gruß
korbinian

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20:34 Uhr, 12.07.2017

Aber das hat ja jetzt nicht sehr viel geändert an der Rechnung, da kommt ja wieder
$ln (y) \cdot d y - \frac{a^{2}}{y} \cdot x \cdot d x = 0$

$= \frac{1}{y} - \frac{a^{2}}{y} = 0$
$\to a_{1} = 1$ oder $a_{2} = - 1$

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20:38 Uhr, 12.07.2017

Ah ja der Differentialoperator kommt an erster Stelle. Hab das verkehrt herum hingeschrieben.

Bayro aktiv_icon

16:13 Uhr, 14.07.2017

Deine Funktion $g$ ist doch ein gegebenes Feld. Um zu Prüfen, ob es ein Potential besitzt, musst du Prüfen, ob es ein Gradientenfeld ist.

Nutze dazu die Integrabilitätsbedingung:

$\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}$

In deinem Fall wäre dies:
$g_{α} (x, y) = {(f_{x} (x, y), f_{y} (x, y))}^{T}$

$f_{x} (x, y) = ln (y)$
$f_{y} (x, y) = x \cdot \frac{α^{2}}{y}$

$\frac{\partial f_{x}}{\partial y} = \frac{\partial f_{y}}{\partial x}$

Wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, dann ist es ein Gradientenfeld, und besitzt somit auch ein Potenzial.

$\frac{1}{y} = \frac{α^{2}}{y}$

$1 = α^{2}$

Also muss dein $α = \pm 1$ sein, wenn $g$ ein Potenzial besitzen soll.

PS: Falls dein Feld im $ℝ^{3}$ ist, kannst du auch folgendes Prüfen:

$\nabla \times g = 0$

$\nabla = {(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})}^{T}$

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