Potenzmenge: Abbildungen surjektiv oder injektiv

Ich stehe gerade voll auf'm Schlauch:

Sei ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{1,2,3,4,5\}}$und die P(M) die Potenzmenge von M.

Ist die Abbildung

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\to \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) \\ \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mapsto (\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\setminus \left\{1\right\})} \end{gathered}$$

injektiv oder surjektiv?

Kann mir jemand weiterhelfen?

Könnte ich die Frage dann so beantworten:

f surjektiv?

Sei f surjektiv. Dann ist f(x)=f(y). Wir müssen zeigen x=y. Da für $\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\{1,2,3,4,5\}\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\{2,3,4,5\}\right)$ $\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ne \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ist, erhält man einen Widerspruch: die Abbildung ist nicht surjektiv.

Seid ihr euch sicher, dass die Funktion nicht injektiv sein kann? Wenn ich mir das Beispiel bei Wikipedia anschaue, werden dort auch mehrere x einem y zugeordnet. de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t

Ich habe gerade surjektiv und injektiv vertauscht, oder? Sorry!

Ich bin aber trotzdem noch der Meinung, dass die Funktion surjektiv ist. Denn zu jedem ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gibt es ein ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Aber warum kann die Menge dann nicht surjektiv sein? Bei Wikipedia habe ich doch auch den Fall, dass eine größere Menge A auf eine kleiner Menge B abgebildet wird? de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t

Tut mir leid, ich stehe wirklich gerade auf dem Schlauch!