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Potenzmenge ( Gegenbeispiel / Beweis )
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo Leute. Ich bin es wieder mit dem großen Problem ( Mengenlehre ) und dem großen Stichwort ( Potenzmenge ). Vor allem verwirren mich die Aussagen das es für alle gilt oder eben nur für eine Teilmenge. ( siehe unten ). Würde mich freuen wenn mir das jemand evtl mit einem der 4 Teilaussagen unten näher erläutern könnte. Zu einer Menge A bezeichne ⊆ die Menge aller Teilmengen von A. Stimmen folgende Aussagen? Belegen sie ihre Behauptung mit einem Gegenbeispiel oder formalen Beweis. 1.Fu¨r alle Mengen gilt A ⊆ . 2.Es gibt eine Menge mit A ⊆ . 3.Fu¨r alle Mengen gilt ⊆ A. 4.Es gibt eine Menge mit ⊆ A. Ansatz+Frage:]Wenn die Menge aller Teilmengen von mit der Eigenschaft das eine Teilmenge von A ist gilt, dann müsste die 1ste Aussage doch falsch sein ? Könnte theoretisch nicht auch A sein ? Würde mich über eine Hilfestellung freuen :-D) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo mach dir doch mal kleine Mengen A also 3 Elemente, sieh nach was . stimmt und dann allgemein zeigen. Gruß ledum |
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Würde ich ja gerne machen aber ich habe grundlegende Verständnisprobleme xd 1. Was bedeutet für alle Mengen gilt ? Für alle (Teil)mengen von ? 2. Es gibt eine Menge... heißt das es gibt nur Menge oder mindestens . 3. Sind denn nicht alle Teilmengen von ? Müsste dann nicht sein ? Würde mich freuen wenn mich jemand aufklären könnte :-P) |
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Hallo, wenn dann sind Teilmengen: Also Ok? Wenn ja, dann gehe mal die Fragen durch für dieses Beispiel. Gleich als HInweis vorweg: Das Element 1 ist nicht dasselbe wie die Menge die 1 enthält. Gruß pwm |
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Danke schon mal an dieser Stelle nur bleiben manche Fragen (siehe oben ) dennoch offen. Was bedeutet denn nun Für alle Mengen gilt] . ich bin verwirrt |
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Hallo Selli22! Was ist mit X gemeint? Ich sehe in der Aufgabenstellung nur den Buchstaben A (außer in 2., aber das scheint ein Tippfehler zu sein und eigentlich auch A statt X heißen zu müssen?). Ich gehe davon aus, dass es darüber hinaus z.B. bei 1. heißen soll: 1. Für alle Mengen A gilt . (In deiner Angabe stand nur "Für alle Mengen gilt" statt "Für alle Mengen A gilt".) " Wenn P(A) die Menge aller Teilmengen von B mit der Eigenschaft das B eine Teilmenge von A ist gilt, " P(A) ist nicht definiert als Menge aller Teilmengen von gewissen Mengen B, sondern als Menge aller Teilmengen von A. " dann müsste die 1ste Aussage doch falsch sein ? " Ich kann dir nicht wirklich folgen. Wenn du zeigen möchtest, dass die Aussage 1. falsch ist, gib als Gegenbeispiel eine Menge an, so dass keine Teilmenge von ist. " Könnte B theoretisch nicht auch A sein ? " Ja, ist eine Teilmenge von und damit ist . (Bei 1. geht es aber nicht um , sondern um .) " 1. Was bedeutet für alle Mengen gilt ? " Für wirklich alle Mengen überhaupt. (Vorausgesetzt, du hast die Aufgabenstellung bis auf obige Anmerkungen korrekt wiedergegeben.) " 2. Es gibt eine Menge... heißt das es gibt nur 1x Menge oder mindestens 1x." Letzteres. In der Mathematik meint "es gibt ein" oder "es existiert ein" üblicherweise "mindestens ein". Ansonsten schreibt man normalerweise "genau ein" statt "ein". " 3. Sind denn nicht alle Teilmengen von X=X? " Im Allgemeinen nein. (Siehe z.B. das Beispiel von pwmeyer.) " Müsste dann P(X) nicht =X sein ? " Folgerichtig (aber halt im Allgemeinen falsch) wäre . Auch ich würde dir empfehlen, zunächst pwmeyers Beispiel daraufhin zu untersuchen, ob hier bzw. gilt oder nicht. Viele Grüße Tobias |
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Bin schon mal soweit gekommen....; 1.Fu¨r alle Mengen gilt A ⊆ . Stimmt nicht, da A keine Teilmenge von der leeren Menge von ist 2.Es gibt eine Menge mit A ⊆ . Stimmt, da die Menge A ein Element der Potenzmenge ist. 3.Fu¨r alle Mengen gilt ⊆ A. 4.Es gibt eine Menge mit ⊆ A Stimmt 1 und 2 soweit ? Bei 3 und 4 wird es ein wenig kritisch. Die Potenzmenge kann doch keine Teilmenge von A sein ? oder meint man bspw. bei 4. das irgendeine Teilmenge der Potenzmenge eine Teilmenge von A ist ? |
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" 1.Fu¨r alle Mengen gilt A ⊆ P(A). Stimmt nicht, da A keine Teilmenge von der leeren Menge von P(A) ist " Hm, das passt noch nicht so richtig. Welche Menge A möchtest du hier als Gegenbeispiel betrachten? Selbst wenn du eine passende Menge A angibst, die keine Teilmenge von der leeren Menge ist: Was hat das mit der Frage zu tun, ob gilt? Du könntest z.B. als Gegenbeispiel die von pwmeyer angegebene Menge wählen. Dann ist z.B. , aber (da ja 1 gar keine Menge und damit erst Recht keine Teilmenge von A ist). Also kann A keine Teilmenge von P(A) sein. " 2.Es gibt eine Menge mit A ⊆ P(X). " Soll es wirklich hinten X statt A heißen? Was soll X sein? Ich gehe weiterhin davon aus, dass es heißen soll. " Stimmt, da die Menge A ein Element der Potenzmenge ist. " Das ist aber nicht die Frage: Die Frage lautet, ob eine Teilmenge der Potenzmenge von A ist für eine geeignete Menge A. Betrachte mal . " Die Potenzmenge kann doch keine Teilmenge von A sein ? " Du liegst mit deiner Vermutung richtig. Aber warum kann für keine Menge A die Potenzmenge von A eine Teilmenge von A sein? Wegen gilt . Wäre nun würde folgen, was nicht sein kann, da Mengen sich nicht selbst als Elemente enthalten können. |
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Vielen Dank für die Hilfe. Vor allem letzteres von tobit hat mir viel Klarheit verschafft :-D) Nur dein Tipp leere Menge hat mich bissl verwirrt xd kriege ich aber hin denke ich :-P) |
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