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Potenzmenge als Gruppe
Universität / Fachhochschule
Tags: Verknüpfung
 
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Hallo, ich weiß nicht wie ich hier anfangen muss. Eine kommutative Gruppe muss folgende Eigenschaften haben: kommutativ, assoziativ, neutrales Element und invertierter sein Mein Problem ist eher, dass es sich hier um Mengen handelt. Bin dankbar über Tipps. LG  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Du musst gar keine Angst davor haben, dass es hier um Mengen (statt um Zahlen) geht! Den Gruppenaxiomen ist das egal. Zuerst solltest du dir aber mal genau anschauen, was für eine Menge eigentlich ergibt. Mit einem Venn-Diagramm kannst du dir das leicht veranschaulichen! Dann musst du das neutrale Element und anschließend zu jedem gegebenen A das passende inverse Element finden. Wenn das nicht sofort aus der Definition von klar wird, dann probiere doch einfach mal aus, was bei Verknüpfung von Standardmengen wie oder in verschiedenen Kombinationen (auch mit sich selbst) heraus kommt. Ein wenig Rechenarbeit erfordert dann am Ende nur das Assoziativgesetz. |
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Danke für Deine Antwort. Habe mir jetzt ein Venn Diagramm erstellt und komme zu dem Lösungsmenge = leere Menge. Dieses Ergebnis hilft mir leider nicht weiter. Wahrscheinlich habe ich auch einen Fehler gemacht  |
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Dein Venn-Diagramm stimmt! Aber wieso denn die leere Menge? Die gelbe und die blaue Menge werden doch vereinigt! |
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Ah ja stimmt, aber wie zeige ich das denn jetzt dass A⋄B = B⋄ A ist? Also der Ansatz wäre doch A⋄ Man muss wahrscheinlich mit den Regeln weiterrechnen aber ich weiß nicht was der nächste Schritt ist. |
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Du machst es dir aber auch schwer! Lass den letzten Schritt einfach weg (de Morgan). Und schreib dir die andere Seite, also hin und vergleiche mit . |
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Reicht das etwa schon aus A ⋄ ⋄ und dann bei beiden ein Venn- Diagramm anfertigen und das reicht dann aus um zu beweisen dass es kommutativ ist? |
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Du kannst das gerne am Venn-Diagramm verdeutlichen. Aber es steht doch direkt da, wenn du die Kommutativität von verwendest: (und analog bei den Komplementen). |
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Und ja, das reicht dann aus! Wenn du es "schön" aufschreiben willst: Und jetzt berechne einfach mal und das sollte neutrales und inverses Element klären! |
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Ok Vielen lieben Dank! |
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Was ist denn jetzt das neutrale Element? Wie sieht das inverse Element zu A aus? Und dann fehlt noch das Assoziativgesetz! |
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