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Potenzmenge auf Totalordnung überprüfen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Integration, Körper, Ordnungsrelation, Potenzmenge, Relation., totalordnung

 
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Thisnu

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11:10 Uhr, 02.06.2018

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Hallo!

Ich habe ein Problem bei folgender aufgabe und ich hoffe, ihr könnt mir helfen.


Aufgabe:

In welchen der folgenden Fälle liegt eine Ordnungsrelation bzw. sogar
eine Totalordnung auf der jeweiligen Menge M vor? Begründen Sie, welche Axiome
gegebenenfalls erfüllt oder verletzt sind.

a) Sei M=P(X) die Potenzmenge einer endlichen Menge X, und für U,V∈M sei
U ≤ V:⇔|U| ≤ |V|.

b) Für n∈ℕ sei Un:={0,. . . ,n} ⊆ ℕ. Sei M:={Un:n∈ℕ}, und für U,V∈M sei
U ≤ V:⇔ es gibt eine surjektive Abbildung f:V→U.


c) Sei M=R × R, und für (x1,y1),(x2,y2)∈M sei
(x1,y1) ≤ (x2,y2):⇔x1<x2 oder (x1=x2 und y1 ≤ y2).


d) Sei M={(x,y)∈R × R:x ≤ y}, und für (x1,y1),(x2,y2) ∈ M sei
(x1,y1) ≤ (x2,y2) :⇔ x1 ≤ y2 und x2 ≤ y1.


Das Problem an der ganzen Sache ist, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll...


In unserem Skript steht, dass eine Ordnungsrelation folgende Bedingungen erfüllen muss:

O1:x ≤ x, (“Reflexivität”)
O2:x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x=y, (“Antisymmetrie”)
O3:x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z. (“Transitivität”)


Und Totalordnung:

Eine Ordnungsrelation “≤” auf M heißt Totalordnung oder lineare Ordnung,
falls je zwei Elemente aus M vergleichbar sind, d. h. für je zwei Elemente
x,y ∈ M gilt x ≤ y oder y ≤ x.



Ich habe versucht, die Aufgabe so gut es geht zu lösen, aber ich weiß nicht, ob meine Gedanken dazu richtig sind.


Ansatz zu a)

1.) Reflexivität

Es gilt U≤U:⇔|U|≤|U|

Somit ist P(M) reflexiv.


2. Antisymmetrie

U≤V und V≤U⇔|U|≤|V| und |V|≤|U|⇒U=V und |U|=|V|

Somit ist P(M) antisymmetrisch.


3. Transitivität

x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z

U≤V und V≤W⇔|U|≤|V| und |V|≤|W|⇒U≤W und |U|≤|W|

Somit ist P(M) transitiv und insgesamt eine Ordnungsrelation.



Wie kann ich aber die Totalordnung zeigen??? Die Definition der Totalordnung ist für mich ein wenig schwammig, da ich die Elemente von P(M) doch verglichen habe, um zu überprüfen, ob es sich um eine Ordnungsrelation handelt...


zu b)

M ist die Menge aller Un ist. Da heißt, dass z.B. U=U3={0,1,2,3} und V=U4={0,1,2,3,4}.


Wenn nun U ≤ V:⇔ es gibt eine surjektive Abbildung f:V→U gilt, dann ist U echt kleiner als V, oder ?

Weil surjektiv heißt ja, dass es zu jedem ymin. ein x -Wert gibt... Das heißt also, dass die Zielmenge eigentlich immer weniger Elemente als die Definitionsmenge hat.

Liege ich richtig? Falls ja, wie genau kann man damit die Totalordnung zeigen?
Ich weiß nicht, wie ich mit der Abbildung arbeiten kann.

Bei c) und d) habe ich leider auch keine Ahnung wie man da rangehen soll...
Kann mir jemand helfen?

Freue mich auf Feedback.
Liebe grüße
Tim




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