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Potenzmenge von N abzählbar

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: abzählbar, natürliche Zahlen, Potenzmenge

railer322 aktiv_icon

23:17 Uhr, 13.02.2018

Es gibt ein Beweis, der zeigen soll, dass Die Potenzmenge von N überabzählbar ist. Am Anfang wird die Abbildung f und die Menge M folgendermaßen definiert.

f : N - > P (ℕ)

und M:={

x \in ℕ : x \notin f (x)

}.

Würde es nun heißen dass bei der Potenzmenge(2) {1} und {2} nicht in M enthalten sind und {1,2} jedoch enthalten sind, da ich ab diesem Punkt einfach nicht verstehe , wie man auf diese Menge kommt. page.mi.fu-berlin.de/bhrnds/analysis/index.htm Seite 45)

ermanus aktiv_icon

00:10 Uhr, 14.02.2018

Hallo,
du hast etwas Wichtiges vergessen, dass nämlich

f

als surjektiv vorausgesetzt
wird, das man also annimmt, dass die Potenzmenge höchstens abzählbar ist.
Das möchte man doch zum Widerspruch führen. Sich die Menge

M

auszudenken fällt
einem nicht gerade zu. Das ist schon sehr tricky. Man möchte halt so etwas Ähnliches
wie die Russellsche Antinomie erzeugen. Nimm die Menge mit ihrer Definition
erst einmal einfach so hin und überlege, dass es wegen der Surjektivität ein

x \in ℕ

geben muss mit

M = f (x)

.
Jetzt überlege, was

x \in M

und

\neg (x \in M)

zur Folge hat.

railer322 aktiv_icon

11:40 Uhr, 14.02.2018

Nun gut, wenn

x \in M

, dann folgt der Widerspruch, da die Vorraussetzung war, dass es ja eben nicht der Fall ist.
Falls

x \notin M

, dann habe ich doch einfach die vorgegebene Menge M?.
Somit habe ich für jede natürliche Zahl x, eine Menge ohne das dazugehörige {x}? Diese ist nicht surjektiv, und wäre dann der Sinn des Beweises , dass eine Teilmenge gefunden wurde, die einfach nicht surjektiv ist?

ermanus aktiv_icon

12:12 Uhr, 14.02.2018

Ich habe das ein wenig zu salopp formuliert.
Hier nochmal genauer:
Nehmen wir an, es gäbe eine surjektive Abbildung

f : ℕ \to P (ℕ)

.
Wir betrachten die Menge

M = {x \in ℕ ∣ x \notin f (x)}

.
Da

f

surjektiv ist und

M \in P (ℕ)

ist, gibt es ein

x_{0} \in N

, so dass

f (x_{0}) = M

ist.
Nun haben wir folgende Implikationen:

x_{0} \in M = f (x_{0}) \Rightarrow x_{0} \in f (x_{0}) \Rightarrow x_{0} \notin M

und

x_{0} \notin M = f (x_{0}) \Rightarrow x_{0} \notin f (x_{0}) \Rightarrow x_{0} \in M

.
Zusammengenommen haben wir also den Widerspruch

x_{0} \in M \overset{}{\Leftrightarrow} x_{0} \notin M

.

Also ist unsere Prämisse falsch, d.h. es gibt keine solche
surjektive Abbildung, also keine Abzählung von

P (ℕ)

railer322 aktiv_icon

12:42 Uhr, 14.02.2018

im vorletzen Schritt schreibst du

. . . \Rightarrow x_{0} \notin f (x_{0}) \Rightarrow x_{0} \in M

.
Leider verstehe ich diesen Schritt nicht so ganz genau, weshalb nun"

x_{0} \in M

" folgen sollte.

ermanus aktiv_icon

12:49 Uhr, 14.02.2018

M

besteht doch nach Definition genau aus den

x

, für die

x \notin f (x)

gilt,
und wegen

x_{0} \notin f (x_{0})

ist doch offenbar

x_{0}

ein solches

x

railer322 aktiv_icon

13:02 Uhr, 14.02.2018

danke für die Hilfe:-)

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