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Potenzreihe einer Fkt. in Entwicklungspunkt

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Entwicklungspunkt, Funktionenreihen, Potenzreihe

 
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Broman

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22:58 Uhr, 25.12.2015

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Hey, ich sitze hier jetzt schon länger an einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter.
Es geht darum die Potenzreihe einer rationalen Funktion im Entwicklungspunkt z0=0 zu berechnen.
f:C \{ 1}C
f(z)=1+z21-z
In den Übungsaufaben hatten wir ähnliche Aufgaben, nur stand dort nur eine 1 im Zähler, was die Sache einfacher gemacht hat und wir es dort einfach mit der geometrischen Reihe lösen konnten.
qk=11-q
Nun habe ich ein bisschen rumprobiert und kam dann auf
(1+z2)11-z(1+z2)zk
...nur bringt mich das auch nicht großartig weiter und ich stehe jetzt ein bisschen auf dem Schlauch.
Später in der Aufgabe soll man noch den Konvergenzradius der Reihe bestimmen, wobei ich das dann vermutlich hinbekommen sollte.
Wäre für jegliche Tipps dankbar! :-)


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Roman-22

Roman-22

23:33 Uhr, 25.12.2015

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Wende doch das Distributivgesetz an

(1+z2)k=0zk=k=0zk+k=0zk+2=1+z+2k=2zk

R

Broman

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11:50 Uhr, 26.12.2015

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Ahh ok, also ist dann 1+z+2k=0zk meine Potenzreihe?
Also kann ich da einfach wieder mit der geometrischen Reihe sagen dass die Reihe fuer |z|<1 konvergiert?
Und es ist egal dass da ein z ausserhalb des Summenzeichens steht?

Dann hätte ich ja für den Konvergenzradius r=1 und den Bereich (-1,1) für z, oder?
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Roman-22

Roman-22

13:17 Uhr, 26.12.2015

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> Ahh ok, also ist dann 1+z+2⋅∑k=0∞zk meine Potenzreihe?
Nein, das ist sie nicht. Beachte, dass ich bei meiner Summe k von 2 weg laufen lasse. Wenn du mit k=0 beginnen möchtest, musst du eben zk+2 schreiben, geht auch.
Egal wie du es schreibst, es ist eben die Reihe f(z)=1+z+2z2+2z3+2z4+2z5+...
Was du aber angibst ist die Reihe 3+3z+2z2+2z3+2z4+2z5+..., also etwas anderes.
Richtig wäre zB auch f(z)=-1-z+2k=0zk


> Also kann ich da einfach wieder mit der geometrischen Reihe sagen dass die Reihe fuer |z|<1 konvergiert?
Ja, kannst du.
>Und es ist egal dass da ein z ausserhalb des Summenzeichens steht?
Ist egal. Es könnten zwei Milliarden Glieder außerhalb der Summe stehen. Sie hätten trotzdem eine endliche Summe haben daher auf das Konvergenzverhalten der gesamten unendlichen Reihe keinerlei Einfluss.

> Dann hätte ich ja für den Konvergenzradius r=1 und den Bereich (-1,1) für z, oder?
Konvergenzradius r=1 ist OK. aber es gilt doch z, genauer: z\{1}. Der Bereich den du angibst, das reelle Intervall, ist daher nicht richtig. Wo liegen denn alle komplexen Zahlen, deren Beträge kleiner als 1 sind?
Erst im Komplexen bekommt doch das Wort Konvergenzradius so richtig Sinn.

R


Broman

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14:47 Uhr, 26.12.2015

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Oh, ja das mit der Summe mit k=0 war wohl ein Tippfehler. Wobei dass jetzt auch ziemlich gut zum Verständnis beigetragen hat :-D)

>Wo liegen denn alle komplexen Zahlen, deren Beträge kleiner als 1 sind?
Das ist doch dann ein Kreis um den Ursprung mit einem Radius von 1, oder nicht?
Ich bin mir nur gerade nicht sicher wie ich das richtig notieren kann.
Wäre dass dann z=1(cosφ+isinφ) mit 0φ<2π, also die polare Darstellung?
Oder wie würde man das notieren?


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Roman-22

Roman-22

15:18 Uhr, 26.12.2015

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> Wäre dass dann z=1⋅(cosφ+i⋅sinφ) mit 0≤φ<2π
Nein. Das wäre ja nur die Kreislinie, also die Begrenzung der Kreisfläche, die du eigentlich angeben möchtest. Außerdem haben die Punkte auf dieser Kreislinie genau den Betrag 1, sind also nicht mehr im Konvergenzbereich enthalten.

Ich weiß nicht, wie ihr das gewohnt seid, aber meiner Meinung nach spricht nichts dagegen, einfach z mit |z|<1 zu schreiben, wobei das z ja ohnedies schon in der Angabe steht. Also einfach |z|<1 wär schon OK.

Wenn du es ein wenig komplizierter haben möchtest, dann kannst du ja
konvergent für z{z|z=r(cosφ+isinφ)0φ<2π0r<1} schreiben.

R

Frage beantwortet
Broman

Broman aktiv_icon

15:31 Uhr, 26.12.2015

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Ah ja stimmt, das macht Sinn.
Ich war wahrscheinlich nur ein bisschen verwirrt und habe gedacht da braucht man irgendetwas kompliziertes, weil es 2 Teilaufgaben gibt, und man in der einen den Konvergenzradius bestimmen soll und in der anderen sagen soll für welche z die Reihe konvergiert. Und das ist ja relativ ähnlich und kurz zu beantworten.

Auf jeden Fall vielen vielen Dank für die Hilfe!