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Potenzreihe konvergiert gleichmäßig

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionenreihen

Mengentheoretische Topologie

Tags: Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Mengentheoretische Topologie

 
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RM777

RM777 aktiv_icon

10:00 Uhr, 10.01.2019

Antworten
Sei P(z)=n=0anzn eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0. Dann:

(i)Die durch die Potenzreihe definierte Funktion P:DR(0) ist stetig.

(ii) Für 0<r>R konvergiert n=0anzn auf Dr(0)DR(0) gleichmäßig.

Ich habe eine Frage zu der 1. Aussage. Der Beweis im Skript beweist auch zuerst (ii).

Der Beweis für (i) lautet:

Wegen (ii) ist PDr(0):Dr(0) stetig, also P:DR(0) stetig in jedem Punkt zDr(0), denn Dr(0) ist eine Umgebung von z in DR(0), und jede Umgebung von z in Dr(0) ist auch eine Umgebung von z in DR(0). Da DR(0) die Vereinigung der Scheiben Dr(0) für 0<r<R ist, folgt die Stetigkeit von P.

Kann mir bitte jemand noch einmal den Beweis Schritt für Schritt erklären?


Ich weiß, das eine Umgebung von einem Punkt p eine Teilmenge ist, die alle Punkte um einen ε Umkreis von p enthält.

Ergänzung: Ich verstehe die Erklärung dieses Beweises nicht, aber die Aussage erscheint mir logisch. Ich muss zeigen, dass die Funktion in jedem Punkt zDR(0) stetig ist. Ich weiß bereits, dass die Funktion für alle zDr,0<r<R stetig ist. Die Definition von Stetigkeit lautet (wobei, hier der Definitionsbereich DR ist):

z0DRε>0δ>0zDR:z-z0<δP(z)-P(z0)<ε

Ich nehme mir also ein beliebiges z0DR, ich weiß dass dann dieser Punkt auch in einer kleineren offenen Scheibe Dr,0<r<R enthalten sein muss. Für dieses z0 existiert dann eine hinreichend kleine δ-Umgebung welche eine Teilmenge der geschlossenen Scheibe Dr ist. Da für alle Punkte in Dr die einen Abstand <δ haben, gilt, dass ihre entsprechenden Bilder einen Abstand von kleiner als ε haben, gilt dies auch für jene Punkte in der Umgebung von z0. Deswegen sind alle Punkte in DR stetig, ist dieser Beweis äquivalent zum Beweis von oben?




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

00:49 Uhr, 15.01.2019

Antworten
Mensch seit Tagen such ich dich schon wie irre. Was du offenbar beweisen willst:




SATZ 1( gleichm. Konv. )
==========

Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen fn(x) gleichmäßig gegen f(x), so ist die Grenzfunzfunktion f stetig.



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Wovon du wahrscheinlich noch nie gehört hast; der Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) von Edward Nelson; Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley. Früher hätte ich mich nie an so Beweise ran getraut; aber NSA macht echt Freude. Auf deinen ausdrücklichen Wunsch hin werde ich alles ganz knapp halten.
Der besseren Lesbarkeit halber verabrede ich vorher allerdings folgende Konventionen:
Eine Variable " klein a " darf nur dann als " Groß A " bezeichnet werden, wenn ihr Wertebereich Standard ist.
Griechische Buchstaben werden für inf(initesimale) Größen reserviert.



LEMMA 2  ( ROBINSON; Grenzwert )
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Die Folge An geht gegen G


     Nonstandard n:    G-An= € = inf     (1)


============================


Eine triviale Folge jenes Lemmas: So lange n Nonstandard und X Standard, ist die Differenz



    F(X)-Fn(X)= inf     (2a)



Wenn man sich mal bissele in Nelsons Quantorenkalkül rein denkt, erkennt man sofort



SATZ 3( gleichm. Konvergenz )

============


Die Funktionenfolge Fn konvergiert gleichmäßig



    x Nonstandard n:    F(x)-Fn(x)= inf     (2b)







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In (2ab) siehst du sehr schön, dass die NSA Case Sensitive ist; (2b) gilt ausdrücklich für beliebige x,(2a) nur für Standard X . Wenden wir uns nunmehr der Stetigkeit zu. Ich führe noch die Relation a(=)b ein; in Worten: a liegt inf benachbart zu b( Wie macht man hier Wellenlinien? )


DEFINITION ( inf Stetigkeit )
=============



Die Funktion y=f(x) heiße inf stetig, falls


    x1(=)x2f(x1)(=)f(x2)    (3)


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SATZ 4 (Stetigkeit)
==========


y=F(x) ist stetig in X0F(x) ist inf stetig in X0



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Aus Satz 4 ergibt sich die Strategie zum Beweis von Satz 1:



    X0(=)x1F(X0)(=)F(x1)    (4a)



Wüssten wir schon



    n Nonstandard :  Fn(x) inf stetig in X0



wären wir jetzt fertig. Doch können wir uns hier nicht auf Satz 4 berufen; zwar ist Fn stetig, aber eben auch n= Nonstandard.
Dies ist eine der seltenen Stellen, wo auch die NSA zu einer Schmuddelabschätzung greift, für welche die Schwarz_Weiß_Analysis ja so notorisch berüchtigt ist - es hält sich aber in Grenzen. Schreib dochmal (4a) in der Form



    x1-X0= inf |FN(x1)-FN(X0)|<1N    (4b)



Se joke behind (4b). Selbst wenn du glaubst, dass es ein kleinstes (n+1) gibt, welches Forderung (4b) verletzt. So muss dieses n ZWANSLÄUFIG NONSTANDARD SEIN .



    n=:n0    x1-X0= inf |Fn0(x1)-Fn0(X0)|<1n0= inf     (4c)



Und jetzt schnappt die Mausefalle zu:



    F(X0)(=)Fn0(X0)     (Robinson)     (5a)

    Fn0(X0)(=)Fn0(x1)     (siehe (4c))    (5b)

    Fn0(x1)(=)F(x1)     (gleichm. Konvergenz; siehe Satz 3)    (5c)



Die Relation (=) ist transitiv; aus (5a-c) folgt schon Behauptung (4a) Doch Gemach; was bedeutet (4a) genau im Lichte von Satz 4 ?



    X    F ist stetig     (6a)


Doch genau genommen verbirgt sich hinter (6a) eine aussage der " bunten " NSA . Was wir brauchen, ist das schwarz_weiße Pendant



    x    F ist stetig     (6b)



Transfer ist - wie der Name schon sagt - immer die Veralgemeinerung bzw. " Übertragung " der gewonnenen Ergebnisse von dem Standardfall auf den allgemeinen Fall. Die Beweise der NSA enden nie mit " wzbw " , sondern mit " RdT " ( " Rest durch Transfer " )

RM777

RM777 aktiv_icon

08:24 Uhr, 15.01.2019

Antworten
Also erstmal vielen Dank für deine Antwort, wenn ich alles verstanden habe werde ich diese Frage als beantwortet einstufen.

Der Befehl für das Wellengleich lautet: \approx Das sieht dann so aus
RM777

RM777 aktiv_icon

08:37 Uhr, 15.01.2019

Antworten
Nach dem ersten Lesen habe ich aber das Gefühl, dass übertragen auf meiner ursprünglichen Frage, alle r<R nicht Standard sind und R Standard.
Antwort
godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

14:58 Uhr, 15.01.2019

Antworten
Ich weiß nicht, wie ich dir für das approx danken soll. Du kennst vielleicht Alfred Tarski und seine Metasrache. Wir haben eine Sprache, um über Einzeller zu sprechen; aber Mikroben können nicht über uns sprechen. Kurt Gödel hat diesen Graben ja eher noch vertieft durch seinen Unvollständigkeitssatz; zu jeder Sprache findest du eine Metasprache.

" Was ist der Unterschied zwischen dem Schlauen und dem Dummen? Der Schlaue kann sich dumm stellen ... "

Die Sprache der konventionellen Analysis ist die ZFC ( Zermelo_Fraenkel + Auswahlaxiom ) Jede Aussage dieser Mengenlehre lässt sich letzten Endes auf die zweistellige Relation reduzieren " xM " (x ist Element der Menge M)
Nelson nun führt die einstellige Relation ein " x ist Standard "
Ich habe mich um die Didaktik dieser Theorie sehr verdient gemacht. Stell dir einen ( hypothetisch ) Farben blinden vor in dem Sinne, dass er die Welt von Geburt an so schwarz_weiß sieht wie auf einem SW Foto oder einem SW Fernsehbildschirm. Für diesen Zeitgenossen wäre es im gödelschen Sinne unentschedbar, ob es das Prädikat " Farbe " gibt oder nicht.
Alle Aussagen, die in der SW Welt wahr sind, sind trivial wahr auch in unserer farbtüchtigen Welt. Nur dass Farbe allen Gegenständen einen zusätzlichen Kontrast verleiht; genau so erleichtert die NSA die analytischen Beweise.

Im Fischerlexikon ( das leider nicht mehr verlegt wird ) fand ich beispielsweise das Statement

" Der Begriff des Infinitesimalen wurde aus der Analysis verbannt, weil er sich nicht Sinn voll axiomatisieren lässt. "

Mein Chef hätte wohl gehöhnt

" Kann MAN es nicht; ode wllten Sie nur gesagt haben, dass Sie es nicht können? "

In der Schule lasen wir eine Story von Adalbert Stifter - wie heißt sie nur? Dort wird beschrieben, wie sich zwei Kinder im schneetreiben verirren, den Heimweg verpassen und im Hochgebirge verirren.

" Sie hatten keine Chance; sie mussten hnauf. "

Als ich erstmals begann, Nelsons Ansatz zu begreifen, wurde mir klar, warum Weierstrass & Co nie eine chance hatten, dem Chaos der " Epsilontik " zu entfliehen.
Du zahlst aber einen Preis, und nicht zu knapp. Im Rahmen der ZFC darfst du unbesehen jede Menge definieren; nur selten gibt es ärger wie bei der Russellschen Antinomie.
Dagegen bei Nelson ist res umgekehrt; fast keine der Mengen, die du definieren kannst, existiert. Wäre es anders, gäbe es beispielsweise die " menge aller Standardzahlen " , könnte die ZFC ja entscheicden, ob das Prädikat Standard existiert oder nicht.
Nimm z.B. dieses Inf. Würden inf Zahlen eine Menge bilden, wäre diese Menge ein Intervall J, dessen Supremum εmax heißen möge.
Ist J offen oder abgeschlossen? Widerspruchsbeweis; sagen wir abgeschlossen. Nun ist aber

     Standard inf = inf     (2.1)

woraus folgen würde eben Falls 2εmaxJ- Widerspruch. also ist J offen; wegen 12εmaxJ würde aus (2.1) folgen εmaxJ .
Typisch für die SW Mathematik war gerade, dass ihre Symbole nichts bedeuten. Das ist bei Nelson völlig anders; buhstäblich auf Schritt und Tritt musst du darauf achten, welchen SINN deine Aussagen haben. Das Nelsonpaper ist wohl die einzige Veröffentlichung, die sich ausführlich mit den Denkfehlern (!!!) ihrer Leser auseinander setzt ...
Nelson sieht das wohl so, dass auch die begabtesten Mathematiker seine Grammatik zu stammeln beginnen wie Kleinkinder ihe Muttersprache; auch ich musste durch das Stadium der Fehler und Missverständnisse hindurch.
direkt in Potenzreihen war ich noch nie gut. Ja schön; auf Grund transfer lässt sich natürlich sagen, dass der Konvergenzradius jeder Standardreihe selbst wieder Standard ist - so fern dir das was nützt.
Im Übrigenstehe ich bereit als dein Nachhilfecoach, wenn du ernsthaft vor hast einzusteigen.
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