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Potenzreihe konvergiert gleichmäßig

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionenreihen

Mengentheoretische Topologie

Tags: Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Mengentheoretische Topologie

RM777 aktiv_icon

10:00 Uhr, 10.01.2019

Sei

P (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}

eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius

R > 0

. Dann:

(i)

Die durch die Potenzreihe definierte Funktion

P : D_{R} (0) \to ℂ

ist stetig.

(i i)

Für 0<r>R konvergiert

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}

auf

{\overline{D}}_{r} (0) \subset D_{R} (0)

gleichmäßig.

Ich habe eine Frage zu der 1. Aussage. Der Beweis im Skript beweist auch zuerst

(i i)

.

Der Beweis für

(i)

lautet:

Wegen

(i i)

ist

P ∣_{{\overline{D}}_{r} (0)} : {\overline{D}}_{r} (0)

\to ℂ

stetig, also

P : D_{R} (0) \to ℂ

stetig in jedem Punkt

z \in D_{r} (0)

, denn

{\overline{D}}_{r} (0)

ist eine Umgebung von

z

D_{R} (0)

, und jede Umgebung von

z

{\overline{D}}_{r} (0)

ist auch eine Umgebung von

z

D_{R} (0)

. Da

D_{R} (0)

die Vereinigung der Scheiben

D_{r} (0)

für

0 < r < R

ist, folgt die Stetigkeit von

P

.

Kann mir bitte jemand noch einmal den Beweis Schritt für Schritt erklären?

Ich weiß, das eine Umgebung von einem Punkt

p

eine Teilmenge ist, die alle Punkte um einen

ε

Umkreis von p enthält.

Ergänzung: Ich verstehe die Erklärung dieses Beweises nicht, aber die Aussage erscheint mir logisch. Ich muss zeigen, dass die Funktion in jedem Punkt

z \in D_{R} (0)

stetig ist. Ich weiß bereits, dass die Funktion für alle

z \in {\overline{D}}_{r}, 0 < r < R

stetig ist. Die Definition von Stetigkeit lautet (wobei, hier der Definitionsbereich

D_{R}

ist):

\forall_{z_{0} \in D_{R}} \forall_{ε > 0} \exists_{δ > 0} \forall_{z \in D_{R}} : ∣ z - z_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ P (z) - P (z_{0}) ∣ < ε

Ich nehme mir also ein beliebiges

z_{0} \in D_{R}

, ich weiß dass dann dieser Punkt auch in einer kleineren offenen Scheibe

D_{r}, 0 < r < R

enthalten sein muss. Für dieses

z_{0}

existiert dann eine hinreichend kleine

δ

-Umgebung welche eine Teilmenge der geschlossenen Scheibe

{\overline{D}}_{r}

ist. Da für alle Punkte in

{\overline{D}}_{r}

die einen Abstand

< δ

haben, gilt, dass ihre entsprechenden Bilder einen Abstand von kleiner als

ε

haben, gilt dies auch für jene Punkte in der Umgebung von

z_{0}

. Deswegen sind alle Punkte in

D_{R}

stetig, ist dieser Beweis äquivalent zum Beweis von oben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

godzilla12 aktiv_icon

00:49 Uhr, 15.01.2019

Mensch seit Tagen such ich dich schon wie irre. Was du offenbar beweisen willst:

SATZ

1 (

gleichm. Konv. )

= = = = = = = = = =

Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen

f_{n} (x)

gleichmäßig gegen

f (x),

so ist die Grenzfunzfunktion

f

stetig.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Wovon du wahrscheinlich noch nie gehört hast; der

\to

Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) von Edward Nelson; Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley. Früher hätte ich mich nie an so Beweise ran getraut; aber NSA macht echt Freude. Auf deinen ausdrücklichen Wunsch hin werde ich alles ganz knapp halten.
Der besseren Lesbarkeit halber verabrede ich vorher allerdings folgende Konventionen:
Eine Variable " klein a " darf nur dann als " Groß A " bezeichnet werden, wenn ihr Wertebereich Standard ist.
Griechische Buchstaben werden für inf(initesimale) Größen reserviert.

LEMMA

2 (

ROBINSON; Grenzwert )

= = = = = = = = = = = = =

Die Folge

A_{n}

geht gegen

G \Leftrightarrow

\forall

Nonstandard

n : G - A_{n} =

€ = inf

(1)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Eine triviale Folge jenes Lemmas: So lange

n

Nonstandard und

X

Standard, ist die Differenz

F (X) - F_{n} (X) =

inf

(2 a)

Wenn man sich mal bissele in Nelsons Quantorenkalkül rein denkt, erkennt man sofort

SATZ

3 (

gleichm. Konvergenz )

= = = = = = = = = = = =

Die Funktionenfolge

F_{n}

konvergiert gleichmäßig

\Leftrightarrow

\forall x \forall

Nonstandard

n : F (x) - F_{n} (x) =

inf

(2 b)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

In (2ab) siehst du sehr schön, dass die NSA Case Sensitive ist;

(2 b)

gilt ausdrücklich für beliebige

x, (2 a)

nur für Standard

X

. Wenden wir uns nunmehr der Stetigkeit zu. Ich führe noch die Relation

a (=) b

ein; in Worten: a liegt inf benachbart zu

b (

Wie macht man hier Wellenlinien? )

DEFINITION ( inf Stetigkeit )

= = = = = = = = = = = = =

Die Funktion

y = f (x)

heiße inf stetig, falls

x_{1} (=) x_{2} \to f (x_{1}) (=) f (x_{2}) (3)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

SATZ 4 (Stetigkeit)

= = = = = = = = = =

y = F (x)

ist stetig in

X_{0} \Leftrightarrow F (x)

ist inf stetig in

X_{0}

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Aus Satz 4 ergibt sich die Strategie zum Beweis von Satz

1 :

X_{0} (=) x_{1} \to F (X_{0}) (=) F (x_{1}) (4 a)

Wüssten wir schon

\forall n

Nonstandard

: F_{n} (x)

inf stetig in

X_{0}

wären wir jetzt fertig. Doch können wir uns hier nicht auf Satz 4 berufen; zwar ist

F_{n}

stetig, aber eben auch

n =

Nonstandard.
Dies ist eine der seltenen Stellen, wo auch die NSA zu einer Schmuddelabschätzung greift, für welche die Schwarz_Weiß_Analysis ja so notorisch berüchtigt ist - es hält sich aber in Grenzen. Schreib dochmal

(4 a)

in der Form

x_{1} - X_{0} =

inf

\to | F_{N} (x_{1}) - F_{N} (X_{0}) | < \frac{1}{N} (4 b)

Se joke behind

(4 b)

. Selbst wenn du glaubst, dass es ein kleinstes

(n + 1)

gibt, welches Forderung

(4 b)

verletzt. So muss dieses

n

ZWANSLÄUFIG NONSTANDARD SEIN .

\exists n = : n_{0} x_{1} - X_{0} =

inf

\to | F_{n_{0}} (x_{1}) - F_{n_{0}} (X_{0}) | < \frac{1}{n_{0}} =

inf

(4 c)

Und jetzt schnappt die Mausefalle zu:

F (X_{0}) (=) F_{n_{0}} (X_{0})

(Robinson)

(5 a)

F_{n_{0}} (X_{0}) (=) F_{n_{0}} (x_{1})

(siehe

(4 c)) (5 b)

F_{n_{0}} (x_{1}) (=) F (x_{1})

(gleichm. Konvergenz; siehe Satz

3) (5 c)

Die Relation

(=)

ist transitiv; aus

(5 a - c)

folgt schon Behauptung

(4 a)

Doch Gemach; was bedeutet

(4 a)

genau im Lichte von Satz 4 ?

\forall X F

ist stetig

(6 a)

Doch genau genommen verbirgt sich hinter

(6 a)

eine aussage der " bunten " NSA . Was wir brauchen, ist das schwarz_weiße Pendant

\forall x F

ist stetig

(6 b)

\to

Transfer ist - wie der Name schon sagt - immer die Veralgemeinerung bzw. " Übertragung " der gewonnenen Ergebnisse von dem Standardfall auf den allgemeinen Fall. Die Beweise der NSA enden nie mit " wzbw " , sondern mit " RdT " ( " Rest durch Transfer " )

RM777 aktiv_icon

08:24 Uhr, 15.01.2019

Also erstmal vielen Dank für deine Antwort, wenn ich alles verstanden habe werde ich diese Frage als beantwortet einstufen.

Der Befehl für das Wellengleich lautet: \approx Das sieht dann so aus

\approx

RM777 aktiv_icon

08:37 Uhr, 15.01.2019

Nach dem ersten Lesen habe ich aber das Gefühl, dass übertragen auf meiner ursprünglichen Frage, alle

r < R

nicht Standard sind und

R

Standard.

godzilla12 aktiv_icon

14:58 Uhr, 15.01.2019

Ich weiß nicht, wie ich dir für das approx danken soll. Du kennst vielleicht Alfred Tarski und seine Metasrache. Wir haben eine Sprache, um über Einzeller zu sprechen; aber Mikroben können nicht über uns sprechen. Kurt Gödel hat diesen Graben ja eher noch vertieft durch seinen Unvollständigkeitssatz; zu jeder Sprache findest du eine Metasprache.

" Was ist der Unterschied zwischen dem Schlauen und dem Dummen? Der Schlaue kann sich dumm stellen

. .

. "

Die Sprache der konventionellen Analysis ist die

\to

ZFC ( Zermelo_Fraenkel

+

Auswahlaxiom ) Jede Aussage dieser Mengenlehre lässt sich letzten Endes auf die zweistellige Relation reduzieren "

x

€

M

(x

ist Element der Menge

M)

Nelson nun führt die einstellige Relation ein "

x

ist Standard "
Ich habe mich um die Didaktik dieser Theorie sehr verdient gemacht. Stell dir einen ( hypothetisch ) Farben blinden vor in dem Sinne, dass er die Welt von Geburt an so schwarz_weiß sieht wie auf einem SW Foto oder einem SW Fernsehbildschirm. Für diesen Zeitgenossen wäre es im gödelschen Sinne unentschedbar, ob es das Prädikat " Farbe " gibt oder nicht.
Alle Aussagen, die in der SW Welt wahr sind, sind trivial wahr auch in unserer farbtüchtigen Welt. Nur dass Farbe allen Gegenständen einen zusätzlichen Kontrast verleiht; genau so erleichtert die NSA die analytischen Beweise.

Im Fischerlexikon ( das leider nicht mehr verlegt wird ) fand ich beispielsweise das Statement

" Der Begriff des Infinitesimalen wurde aus der Analysis verbannt, weil er sich nicht Sinn voll axiomatisieren lässt. "

Mein Chef hätte wohl gehöhnt

" Kann MAN es nicht; ode wllten Sie nur gesagt haben, dass Sie es nicht können? "

In der Schule lasen wir eine Story von Adalbert Stifter - wie heißt sie nur? Dort wird beschrieben, wie sich zwei Kinder im schneetreiben verirren, den Heimweg verpassen und im Hochgebirge verirren.

" Sie hatten keine Chance; sie mussten hnauf. "

Als ich erstmals begann, Nelsons Ansatz zu begreifen, wurde mir klar, warum Weierstrass & Co nie eine chance hatten, dem Chaos der " Epsilontik " zu entfliehen.
Du zahlst aber einen Preis, und nicht zu knapp. Im Rahmen der ZFC darfst du unbesehen jede Menge definieren; nur selten gibt es ärger wie bei der Russellschen Antinomie.
Dagegen bei Nelson ist res umgekehrt; fast keine der Mengen, die du definieren kannst, existiert. Wäre es anders, gäbe es beispielsweise die " menge aller Standardzahlen " , könnte die ZFC ja entscheicden, ob das Prädikat Standard existiert oder nicht.
Nimm

z . B

. dieses Inf. Würden inf Zahlen eine Menge bilden, wäre diese Menge ein Intervall

J,

dessen Supremum

ε_{max}

heißen möge.
Ist

J

offen oder abgeschlossen? Widerspruchsbeweis; sagen wir abgeschlossen. Nun ist aber

Standard

\cdot

inf = inf

(2.1)

woraus folgen würde eben Falls

2 ε_{max}

€

J -

Widerspruch. also ist

J

offen; wegen

\frac{1}{2} ε_{max}

€

J

würde aus

(2.1)

folgen

ε_{max}

€

J

.
Typisch für die SW Mathematik war gerade, dass ihre Symbole nichts bedeuten. Das ist bei Nelson völlig anders; buhstäblich auf Schritt und Tritt musst du darauf achten, welchen SINN deine Aussagen haben. Das Nelsonpaper ist wohl die einzige Veröffentlichung, die sich ausführlich mit den Denkfehlern

(!!!)

ihrer Leser auseinander setzt

. .

.
Nelson sieht das wohl so, dass auch die begabtesten Mathematiker seine Grammatik zu stammeln beginnen wie Kleinkinder ihe Muttersprache; auch ich musste durch das Stadium der Fehler und Missverständnisse hindurch.
direkt in Potenzreihen war ich noch nie gut. Ja schön; auf Grund transfer lässt sich natürlich sagen, dass der Konvergenzradius jeder Standardreihe selbst wieder Standard ist - so fern dir das was nützt.
Im Übrigenstehe ich bereit als dein Nachhilfecoach, wenn du ernsthaft vor hast einzusteigen.

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