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Potenzreihe von ln(1+x)

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Tags: Folgen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Reihen

mathlab

09:46 Uhr, 19.04.2010

Die Potenzreihe von ln(1+x) ist laut Wikipedia:

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{x^{k}}{k}$ .

Kann man das auch irgendwie genauer zeigen, wie man zu dieser Entwicklung kommt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

PiDaun

09:58 Uhr, 19.04.2010

Hängt davon ab, was Du weißt. Du könntest ja hart die Taylorkoeffizienten ausrechnen. Wenn Du ein bißchen weiter gehst geht es so:
Man zeigt mit Induktion, daß für $| q | < 1$ gilt:
$\frac{1}{1 - q} = \sum_{i}^{\infty} q^{i}$
Dann ersetzt man $x$ durch $- q$ und erhält die Potenzreihe für
$\frac{1}{1 + x} = \sum_{i}^{\infty} {(- x)}^{i} = \sum_{i}^{\infty} {(- 1)}^{i} \cdot x^{i}$

Jetzt kann man nach den Sätzen über Potenzreihen integrieren und erhält links den Logarithmus und rechts Deine Reihe $+$ Konstante. Für $x = 0$ muß links Null stehen. Also ist die Konstante auch Null. Fertig

mathlab

10:04 Uhr, 19.04.2010

Das ist doch geometr. Reihe. Also die Rechnung kann ich nachvollziehen. Auf sowas abgefahrenes muss man aber erstmal kommen ;)

Wenn man es einmal gesehen hat okay.

Danke.

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