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Potenzreihe von ln(1+x)

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Tags: Folgen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Reihen

 
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mathlab

mathlab

09:46 Uhr, 19.04.2010

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Die Potenzreihe von ln(1+x) ist laut Wikipedia:

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ⋅ x k k .

Kann man das auch irgendwie genauer zeigen, wie man zu dieser Entwicklung kommt?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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PiDaun

PiDaun

09:58 Uhr, 19.04.2010

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Hängt davon ab, was Du weißt. Du könntest ja hart die Taylorkoeffizienten ausrechnen. Wenn Du ein bißchen weiter gehst geht es so:
Man zeigt mit Induktion, daß für |q|<1 gilt:
11-q=∑i∞qi
Dann ersetzt man x durch -q und erhält die Potenzreihe für
11+x=∑i∞(-x)i=∑i∞(-1)i⋅xi

Jetzt kann man nach den Sätzen über Potenzreihen integrieren und erhält links den Logarithmus und rechts Deine Reihe + Konstante. Für x=0 muß links Null stehen. Also ist die Konstante auch Null. Fertig
Frage beantwortet
mathlab

mathlab

10:04 Uhr, 19.04.2010

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Das ist doch geometr. Reihe. Also die Rechnung kann ich nachvollziehen. Auf sowas abgefahrenes muss man aber erstmal kommen ;)

Wenn man es einmal gesehen hat okay.

Danke.