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Potenzreihen Substitution

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Potenzreihe, Reihen, Substitution

Brigon aktiv_icon

20:16 Uhr, 05.01.2010

Hallo,
ich habe bisher schon ewig im Script nach der Lösung gesucht, jedoch ohne Erfolg.

Ich habe die folgende Potenzreihe: $Σ_{n = 0}^{u n e n d l .} \frac{{(x + 5)}^{2 n + 1}}{{(2 n + 2) * 2}^{2 n + 2}}$

Da hier ja eine Variable x in der Klamme steht, muss ich vor der berechnung des konvergenzradius ja noch substituieren (verbessert mich sollte ich mich bis hier hin schon irren!).

Unser Tutor (den wir jetzt leider nicht mehr haben) hatte folgende Kurzlösung:

Substitution: ${(x + 5)}^{2} = y$ $\to Σ_{n = 0}^{u n e n d l .} \frac{y^{n}}{(2 n + 2) * 2^{2 n + 2}}$

Vorsicht bei Konvergenzradius: $r = \sqrt[2]{\lim_{n \to 0} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |} = ... = 2$

Das heißt: r=2 uns somit ist der Konvergenzbereich: |x+5|<2 --> K² x€(-7;-3)

Wie ist der mit der Substituion auf y^n gekommen? Ist das richtig? Was ist aus dem ^1 geworden von der Klammer?

Wie substituiert man, wenn das x in der Klamme steht?

Habt ihr vielleicht eine (komplette) Anleitung (für DUMMIES ;-) ) wie man in so einem fall vorgeht?

Danke im vorraus!

Gruß,

Brigon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pakaKoni aktiv_icon

21:35 Uhr, 05.01.2010

Hallo

Wie ist der mit der Substituion auf y^n gekommen? Ist das richtig? Was ist aus dem ^1 geworden von der Klammer?
Also die 1 im Exponenten kommt in allen Summanden vor, und deshalb kann man

(x + 5)

einfach als Faktor vor die Summe schreiben. Das ändert nichts am Konvergenzradius der Reihe.

Wie substituiert man, wenn das x in der Klamme steht?
Das x steht doch in der Klammer.

Ich hab so ne Substitution noch nicht gesehen, aber es kingt alles schlüssig, was du da vorführst.
Wäre schön, wenn jemand der der das kennt noch seinen Senf dazugibt.

LG

Brigon aktiv_icon

22:23 Uhr, 05.01.2010

Steht das dann direkt vor dem Summenzeichen einfach oder...

wenn ich jetzt nur mit dem y weiter rechne komme ich auf:

$\sqrt[2]{\frac{4}{y}} = \sqrt[2]{\frac{4}{{(x + 5)}^{2}}} = \frac{2}{x + 5}$ aber das ist ja immer noch nicht r=2 oder was muss ich nun umrechnen bzw. habe ich mich da gerade vertan??

hagman aktiv_icon

22:34 Uhr, 05.01.2010

Möglicherweise hast du dich mit den Bezeichnungen vertan. Die

a_{n}

sind die Koeffizienten, nicht die Reihenglieder.
Also:
Falls wir die Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

haben und

R := lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1} |}

existiert, so ist

R

der Konvergenzradius der Potenzreihe. (Es geht auch allgemeiner mit n-ter Wurzel und limsup, aber hier haben wir einen einfachen Fall)

Die y-Reihe hat

a_{n} = \frac{1}{(n + 2) \cdot 2^{2 n + 2}},

also

| \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = \frac{n + 3}{n + 2} \cdot 4,

woraus

R = 4

folgt.
Aber

| y | < 4

ist äquivalent zu

| x + 5 | < 2

.
Es hat also

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x + 5)}^{2 n}}{(2 n + 2) \cdot 2^{2 n + 2}}

den Konvergenzradius 2 und dasselbe gilt für

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x + 5)}^{2 n + 1}}{(2 n + 2) \cdot 2^{2 n + 2}} = (x + 5) \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x + 5)}^{2 n}}{(2 n + 2) \cdot 2^{2 n + 2}}

Brigon aktiv_icon

23:03 Uhr, 06.01.2010

Eine letzte Frage noch: ich kann so etwas wie (x+5)^.... also immer als y schreiben und dann für y mit 1 weiterrechnen oder?

Dann geht das ja wirklich recht einfach :-)

Vielen Dank für die Lösungen schon mal!

LG Brigon

hagman aktiv_icon

23:56 Uhr, 06.01.2010

Substituieren kann man immer, aber ich weiß nicht, waas du unter "mit 1 weiterrechnen" verstehst.

Brigon aktiv_icon

11:11 Uhr, 07.01.2010

Naja wir haben für (x+5)² = y und für y=1 --> somit ergab sich $\frac{1}{(2 n + 2) * 2^{2 n + 2}}$

Mit dieser "1" kann man nun den Radius ausrechnen. Das meinte ich mit "1 weiter rechnen" ;-)

hagman aktiv_icon

11:28 Uhr, 07.01.2010

\frac{1}{(2 n + 2) \cdot 2^{2 n + 2}}

ist einfach der Koeffifient von

y^{n}

.
Wenn du einfach

y = 1

setzt, verlierst du die Information, zu welcher Potenz von

y

der Koeffizient gehört, würdest es also nicht mitkriegen, wenn die Koeffizienten wild umsortiert würden - und das wäre fatal für die Anwendung der Hadamard-Formel

Brigon aktiv_icon

14:49 Uhr, 07.01.2010

Ok vielen Dank!

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