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Potenzreihen in Standardform umformen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion

MissBluesky aktiv_icon

19:15 Uhr, 25.11.2019

Hallo,

unten findet sich eine Aufgabe meines aktuellen Analysis-Zettels.

Ich habe ein ungefähre Vorstellung davon, was ich hier tun muss, aber der angehängte Hinweis lässt mich etwas ratlos zurück - wie bekomme ich eine Potenzreihe in die Standardform umgeschrieben? Vielleicht denke ich hier komplizierter als ich muss, ein allgemeiner Tipp würde mir hier schon helfen.

Danke & Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

HAL9000

19:19 Uhr, 25.11.2019

> aber der angehängte Hinweis lässt mich etwas ratlos zurück

Soll das heißen, der angehängte Hinweis behindert dich eher als dass er dir nützt? Wenn du ihn nicht brauchst, dann beachte ihn nicht: "Hinweis" ist Hinweis, und keine Pflicht.

EDIT: Nachdem ich mir die Sache näher angeschaut habe, würde ich den Hinweis auch ignorieren, denn er macht die Sache nur unnötig kompliziert. :-)

MissBluesky aktiv_icon

19:37 Uhr, 25.11.2019

Vielleicht war das ein bisschen salopp gesagt, ich wollte damit nur ausdrücken, dass ich keine Antwort auf die komplette Aufgabe möchte, sondern nur ein bisschen Hilfe für den Ansatz.
Das Cauchy-Produkt ist mir bekannt, ich weiß auch, dass ich am besten von 2cos(x)

\cdot sin (x)

aus anfange, umzuformen, ich habe nur Probleme dabei, das Ganze in die Form zu bringen, mit der sich am besten rechnen lässt wenn man das Cauchy-Produkt anwendet (Die Standardform eben).

Ich bin dankbar für jeden Tipp, muss auch nicht die Antwort sein. Gerade stehe ich einfach voll auf dem Schlauch, wie ich da ran gehe.

MissBluesky aktiv_icon

19:38 Uhr, 25.11.2019

Sorry, jetzt erst den Edit gesehen - okay, also grundsätzlich einfach mit

2 cos (x) \cdot sin (x)

anfangen, die Formeln einsetzen und umformen, bis ich das Cauchy-Produkt anwenden kann?

HAL9000

19:51 Uhr, 25.11.2019

Genau, also mit diesem Start

2 \cos (x) \cdot \sin (x) = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \cdot \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{m} x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \overset{!}{=} 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{k} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \cdot \frac{{(- 1)}^{k - n} x^{2 (k - n) + 1}}{(2 ((k - n) + 1)!}

Endziel der Umformung wird

\sin (2 x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k} x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

sein, dazu ist es hinreichend

2 \sum_{n = 0}^{k} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \cdot \frac{{(- 1)}^{k - n} x^{2 (k - n) + 1}}{(2 (k - n)) + 1)!} = \frac{{(- 1)}^{k} x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

nachzuweisen.

MissBluesky aktiv_icon

19:59 Uhr, 25.11.2019

Hallo nochmal und ein riesiges Dankeschön, jetzt komme ich klar! :-)

HAL9000

20:37 Uhr, 25.11.2019

Ups, ich hatte einen Schreibfehler drin, der dir hoffentlich aufgefallen ist - richtig ist:

Endziel der Umformung wird

\sin (2 x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k} {(2 x)}^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

sein, dazu ist

2 \sum_{n = 0}^{k} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \cdot \frac{{(- 1)}^{k - n} x^{2 (k - n) + 1}}{(2 (k - n) + 1)!} = \frac{{(- 1)}^{k} {(2 x)}^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

hinreichend.

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