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Potenzreihen - was ist erlaubt?

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

student11 aktiv_icon

00:29 Uhr, 24.06.2012

Hallo zusammen

Ich werde nicht wirklich schlau daraus, was ich denn nun mit Potenzreihen (natürlich innerhalb ihres Konvergenzradius) alles tun darf..

Ich kann sie multiplizieren: Jedoch: Nur gliedweise oder?
Also beispielsweise:

\frac{e^{x}}{x + 1} = e^{x} \cdot \frac{1}{x + 1}

mit

e^{x} = \sum \frac{x^{n}}{n!}

und

\frac{1}{x + 1} = \sum {(- x)}^{n}

Ich kann jetzt nicht sagen, dass

\frac{e^{x}}{x + 1} = \sum \frac{x^{n}}{n!} \cdot {(- x)}^{n} = \sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n}}{n!}

ist, oder schon? Denn Reihen kann man ja eigentlich nicht einfach so multiplizieren?

Um auf ein Produkt zu kommen, müsste ich die Terme ausschreiben und dann gliedweise multiplizieren? Und dann, eventuell wenn ich Glück habe, eine Regelmässigkeit erkennen, sodass ich dies wieder zu

\sum (. .)

zusammenfassen kann?

Jedoch bei

\frac{e^{x}}{x}

ist ja

x

in dem Sinne keine Potenzreihe, sondern einfach ein faktor. Ich kann also

\frac{e^{x}}{x} = \frac{1}{x} \cdot \sum \frac{x^{n}}{n!} = \sum \frac{x^{n - 1}}{n!}

schreiben?

Integrieren, ableiten kann ich aber in dem Sinne, ohne die Terme aufzuschreiben, direkt..?

Wollte nur sicher gehen, dass ich nicht alles viel zu kompliziert löse oder etwas komplett falsch mache

Vielen Dank..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

student11 aktiv_icon

00:34 Uhr, 24.06.2012

Hier ein Beispiel, weil ich glaube, dass ich da so ziemlich alles falsch mache:

Berechne

\int_{0}^{1} \frac{sin (x)}{x} \cdot d x

sin (x) = \sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

\frac{sin (x)}{x} = \sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)!}

(schon hier bin ich mir nicht mehr sicher, ob das stimmt)

\int \frac{sin (x)}{x} = \int \sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)!} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) \cdot (2 n + 1)!}

Kann mir jemand helfen? Welche Schritte sind korrekt, welche darf ich so nicht machen??

Vielen Dank

hagman aktiv_icon

09:26 Uhr, 24.06.2012

α \cdot \sum a_{n} x^{n} + β \cdot \sum b_{n} x^{n} = \sum (α \cdot a_{n} + β \cdot b_{n}) x^{n}

geht natürlich schon wegen einfacher Konvergenz.
Aber Potenzreihen konvergieren (innerhalb des Konvergenzradius) sogar absolut, und deshalb ist noch viel mehr erlaubt, insb. gliedweise differenzieren, integrieren und mit Cauchy-Produkt multiplizieren:

\frac{d}{d x} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}

\int_{0}^{y} (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n - 1}}{n} y^{n}

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}) x^{n}

Einfach so gliedweise multiplizieren haut doch schon für Polynome nicht hin!

(a + b \cdot x) \cdot (c + d \cdot x) \neq a c + b d x^{2}

Wenn beim Cauchyprodukt eine Reihe nur ein Polynom ist, lässt es sich stets besonders einfach hinschreiben.
Ist beispielsweise

b_{k} = 0

für alle

k,

außer

b_{0} = b_{1} = 1,

so folgt

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}) \cdot (1 + x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} + a_{n - 1}) x^{n}

(wobei

a_{- 1} = 0

vereinbart sei)

Wenn du mit

\frac{e^{x}}{x}

arbeiten willst, dann verlassen wir ohnehin den Bereich der (um 0 entwickelten) Potenzreihen und müssen zu Laurent-Reihen übergehen (oder wenigstens genau aufpassen, welche Indexgrenzen bei den Reihen stehen)

e^{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{n!} = \sum_{n = - 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n + 1)!}

(oder auch

= \frac{1}{x} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n + 1)!}

Bei deiner Rechnung zu

\frac{sin (x)}{x}

hast du in der letzten Zeile ein paar Sachen ausgelassen: Unter den beiden Integralen jeweils das

d x,

vor dem letzten Ergebnis das

Σ

. Aber ansonsten inst die Vorgehensweise gerechtferigt.

student11 aktiv_icon

10:28 Uhr, 24.06.2012

Stimmt, habe wirklich einiges ausgelassen, war wohl spät am Abend.. :-)

Habe nun schnell Cauchy-Produkt gegooglet:
http//de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

und frage mich: ist denn das wirklich etwas, das man oft braucht für Aufgaben für Erstsemestrige? :-D)

Wir hatten einige Aufgaben im Stil von:

BEstimmen Sie die Reihen der folgenden Funktionen, indem Sie die Potenzreihen der beiden Faktoren gliedweise multiplizieren:

f (x) = e^{- 2 x} \cdot cos (x)

und so weiter..

Da ist es gedacht, dass ich beide bis

z . B

. vierten Grad ausschreibe und dann multipliziere? Direkt eine Summenschreibweise finde ich nicht, oder wäre dann das eben das Cauchy-Produkt?

hagman aktiv_icon

11:07 Uhr, 24.06.2012

Das wäre ein Fall für das Cauchy-Produkt.

student11 aktiv_icon

17:24 Uhr, 24.06.2012

Habe das jetzt gerade ausprobiert und hat super geklappt..

Vielen Dank..

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