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Potenzreihenansatz DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

epiphi aktiv_icon

04:40 Uhr, 15.12.2017

Hallo,

ich habe eine inhomogene DGL 2. Ordnung per Potenzreihenansatz zu lösen. Dazu sind Anfangswerte gegeben.
Wie gehe ich vor? Muss ich nun den PR-Ansatz erst auf die homogene DGL anwenden?

Ich habe erst das Störglied mit auf die rechte Seite gezogen, kam dann aber beim Koeffizientenvergleich nicht weiter. Deshalb denke ich, daß das falsch war.

liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:21 Uhr, 15.12.2017

Nein, sofort mit der inhomogenen. Das Störglied muss man zuvor auch als Potenzreihe schreiben.

epiphi aktiv_icon

11:12 Uhr, 15.12.2017

Hallo DrBoogie,

mhm ok dann war das richtig und ich stehe auf dem Schlauch.
Die DGL lautet

u'' + 2 x u' - u = e^{x} (1 + x + x^{2}), u (0) = 0, u' (0) = 0,5

nach dem Anwenden von

u (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

und der Definition der Exponentialfunktion als Reihe erhalte ich

0 = \sum_{n = 2}^{\infty} x^{n} {[n^{2} + 3 n + 2] a_{n + 2} + (2 n - 1) a_{n} - \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n - 1)!} - \frac{1}{(n - 2)!}}

+ x (6 a_{3} + a_{1} - 2) + 2 a_{2} - a_{0} - 1

also

6 a_{3} + a_{1} - 2 = 0

und

2 a_{2} - a_{0} - 1 = 0

das sind 2 Gleichungen und 4 Unbekannte und wenn ich die Summanden ausrechne erhalte ich pro Summand jeweils eine neue Gleichung mit einer neuen Unbekannten...wo liegt mein Fehler?

Lieben Gruß

e π φ

ledum aktiv_icon

14:09 Uhr, 15.12.2017

Hallo
du hast doch die Anfangsbedingungen nicht benutzt

u (0) = 0 \to a_{0} = 0

entsprechend aus

u' (0) a_{1}

bestimmen.
damit dann die weiteren!
ohne Anfangsbedingungen hat man immer 2 Konstanten frei zu wählen bei eine Dgl 2 ter Ordnung.
Gruß ledum

epiphi aktiv_icon

15:08 Uhr, 15.12.2017

Ah, ok mal wieder das offensichtlichste übersehen^^

Vielen Dank für die Antworten!

Grüße

1405615

1405552

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