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Potenzreihenansatz, Indexgleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Indexgleichung, Potenzreihenansatz

anonymous

17:17 Uhr, 07.02.2017

Hallo Leute,

habe dieses mal Fragen zur Potenzreihenentwicklung, vor allem zur Berechnung der Indexgleichung, welche nur kurz im Skript beschrieben wurden, allerdings für mich nicht ganz verständlich...
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

2 x ² y ʺ (x) - (x + 2 x ²) y ʹ (x) + y (x) = 0

Jetzt soll ich die Indexgleichung mit den Nullstellen für

r_{1}, r_{2}

berechnen.

Im Skript steht, dass die Gleichung hierfür

r (r - 1) p_{0} + r p_{1} + p_{2} = 0

lautet. ich nehme mal an ich muss hier die Mitternachtsformel anwenden, aber wie bekomme ich die Werte für

p_{0}, p_{1}, p_{2}

??

Das verstehe ich noch nicht ganz.

Dann noch eine allgemeine Frage: ich berechne ja Werte für

a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .

in was muss ich die dann einsetzen um eine Lösung von

y (x) = . . .

zu bekommen? Sorry Leute ich bin hier ziemlich blank was das hier angeht. Danke für eure Hilfe schon im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:24 Uhr, 07.02.2017

Hallo,

wenn im Skript die Indexgleichung steht und da

p_{0}, p_{1}, p_{2}

vorkommen, wird im Skript auch stehen, was diese Größen bedeuten. Vielleicht kannst Du das mal nachschlagen.

Gruß pwm

anonymous

18:51 Uhr, 07.02.2017

Also, mir hat jetzt ein Kommilitone geschrieben, dass der Ansatz wohl so wäre, nur bringt mich das noch nicht auf die Lösung:

Es gibt die Beziehung:

p (x) y ʺ (x) + q (x) y ʹ (x) + r (x) y (x) = 0

p (x) = p_{0} (x) (x - x_{0}) ²

somit ist

p_{0} (x) = 2

q (x) = p_{1} (x) (x - x_{0})

somit ist

p_{1} (x) = - 1 - 2 x

r (x) = p_{2} (x)

somit ist

p_{2} (x) = 1

Ich verstehe diese Beziehung nicht, bzw. weiß nicht, was ich hier rechnen soll, da angeblich

2 r ² - 3 r + 1 = 0

das Ergebnis zur NST-berechnung sein soll, da kommt dann

r_{1} = 1; r_{2} = 0.5

raus...

Ich stell mich grad echt dumm an, hab keine Ahnung wire der auf diese Zusammenhänge, vor allem auf die quadratische Gleichung kommt, die mit der Mitternachtsformel lösbar ist... Bitte Hilfe :-)

pwmeyer aktiv_icon

20:53 Uhr, 07.02.2017

Hallo,

offenbar wird zur Lösung der Differentialgleichung eine Reihe der Form

y (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n + r}

angesetzt, hier ist wohl

x_{0} = 0

. Setzt man dies in die Differentialgleichung ein und vergleicht die Koeffizienten von

x^{n + r},

dann erhält man eben die Bedingung

r \cdot (r - 1) \cdot p_{0} (0) + r \cdot p_{1} (0) + p_{2} (0) = 0

Das liefert die von Deinem Kollegen angegebene Gleichung.

Gruß pwm

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