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Potenzreihendarstellung von (x^2+x+2)/(x+1)^2

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Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Partialbruchzerlegung, potenzreihen, reih, Sonstig

anonymous

12:56 Uhr, 27.11.2018

Hallo liebe Community!

Die Aufgabe:
Berechnen Sie die Potenzreihendarstellung der Funktion

\frac{x^{2} + x + 2}{{(x + 1)}^{2}}

Ich steh' bei dieser Aufgabe ziemlich auf der Leitung...
Ich hätte mir mal gedacht, dass ich eine Partialbruchzerlegung mache, und dann schaue ob ich die einzelnen Glieder dann irgendwie als Potenzreihe darstellen kann...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

13:03 Uhr, 27.11.2018

Partialbruchzerlegung ist ein gangbarer Weg.
Die daraus resultierende Reihenentwicklung folgt dann einem einfachen Schema.

\frac{x^{2} + x + 2}{{(x + 1)}^{2}} = 1 - \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{1}{x + 1} = . .

\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = . .

anonymous

13:14 Uhr, 27.11.2018

Okay, danke, so weit hab ichs jetzt auch schon.

Jetzt könnte ich ja

\frac{1}{x + 1}

auf die Form der geomterischen Reihe

\frac{1}{1 - x}

bringen, da weiß ich ja dass die Potenzreihe

\infty \sum_{n = 0} x^{n}

ist.

Also

\frac{1}{1 + x}

umformen:

\frac{1}{1 - (- 1 + x)}

oder?

Bzw. wenn richtig, wie forme ich dann

\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}

um? Ich hätte überlegt die Ableitung der geometrischen Reihe zu bilden und schauen ob ich da irgendwie weiterkomme, aber da komme ich iwie nicht auf etwas Sinvolles...

anonymous

13:15 Uhr, 27.11.2018

Okay, danke, so weit hab ichs jetzt auch schon.

Jetzt könnte ich ja

\frac{1}{x + 1}

auf die Form der geomterischen Reihe

\frac{1}{1 - x}

bringen, da weiß ich ja dass die Potenzreihe

\infty \sum_{n = 0} x^{n}

ist.

Also

\frac{1}{1 + x}

umformen:

\frac{1}{1 - (- 1 + x)}

oder?

Bzw. wenn richtig, wie forme ich dann

\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}

um? Ich hätte überlegt die Ableitung der geometrischen Reihe zu bilden und schauen ob ich da irgendwie weiterkomme, aber da komme ich iwie nicht auf etwas Sinvolles...

Edddi aktiv_icon

13:17 Uhr, 27.11.2018

. .

. für die Potenzreihe einfach den Ansatz:

(x^{2} + 2 x + 1) \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k} = x^{2} + x + 1

Dann Koeffizientenvergleich

;-)

anonymous

18:42 Uhr, 27.11.2018

Okay, ich wäre jetzt einmal soweit:

\frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot x^{n}

\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}

ist

2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot {(- 1)}^{n - 1} \cdot x^{n - 1}

Aber wie "verbinde" ich die jetzt zu einer einzigen Potenzreihe?

Respon

18:59 Uhr, 27.11.2018

- \frac{1}{x + 1} = - 1 + x - x^{2} + x^{3} - x^{4} + x^{5} - . .

\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 2 - 4 \cdot x + 6 \cdot x^{2} - 8 \cdot x^{3} + 10 \cdot x^{4} - 12 \cdot x^{5} + . .

\Rightarrow

Gleiche Potenzen zusammenfassen.

2 - 3 \cdot x + 5 \cdot x^{2} - 7 \cdot x^{3} + 9 \cdot x^{4} - 11 \cdot x^{5} + . .

.
Oder in geschlossener Foerm

: . .

Roman-22

19:02 Uhr, 27.11.2018

>

Aber wie "verbinde" ich die jetzt zu einer einzigen Potenzreihe?

1 - \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 1 - \sum_{n = 0}^{\infty} [{(- 1)}^{n} \cdot x^{n}] + 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} [n \cdot {(- 1)}^{n} - 1 \cdot x^{n - 1}] =

= 1 - \sum_{n = 0}^{\infty} [{(- 1)}^{n} \cdot x^{n}] + 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} [(n + 1) \cdot {(- 1)}^{n} \cdot x^{n}] = 1 + \sum_{n = 0}^{\infty} [{(- 1)}^{n} \cdot (2 n + 1) \cdot x^{n}]

Du kommst im Übrigen auch auf deine Reihe durch eine einfache Polynomdivision:

(2 + x + x^{2}) : (1 + 2 x + x^{2}) = 2 - 3 x + 5 x^{2} - 7 x^{3} \pm . .

anonymous

19:24 Uhr, 27.11.2018

Vielen Dank erstmal für deine Antwort, Roman!

Fast geklärt, ich frage mich nur noch wie du auf

\frac{2}{{(1 + x)}^{2}}

ist

2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot {(- 1)}^{n} \cdot x^{n}

kommst, also von meiner obigen Antwort

2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot {(- 1)}^{n - \cdot 1} \cdot x^{n - 1}

Roman-22

19:28 Uhr, 27.11.2018

Die Reihe in deiner Darstellung liefert für

n = 0

den Summanden 0. Du kannst in deiner Reihe also den Index auch genau so gut bei

n = 1

weglaufen lassen.
Und nun mach eine Indexverschiebung und ersetze

n

durch

n + 1

und lasse dafür die Reihe wieder bei

n = 0

beginnen.

Wenns dir noch immer unklar ist, dann schreib dir einfach die ersten paar Glieder jeder der beiden Darstellungen explizit hin und du wirst die Gleichheit erkennen.

anonymous

20:02 Uhr, 27.11.2018

Ich Depp, ja das macht Sinn! :-)

Eine allerletzte Frage noch: Wie wird das mal 2 bei

2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) {(- 1)}^{n} \cdot x^{n}

bei der Addition der beiden Summen verarbeitet?

Roman-22

20:13 Uhr, 27.11.2018

>

Eine allerletzte Frage noch: Wie wird das mal 2 bei 2⋅∑n=0∞(n+1)(−1)n⋅xn bei der Addition der beiden Summen verarbeitet?

Du ziehst es in die Summe

\to (2 n + 2)

Die Subtraktion der anderen Summe liefert dann damit eben den Faktor

(2 n + 1)

anonymous

20:23 Uhr, 27.11.2018

Jetzt macht alles Sinn, vielen vielen Dank :-)

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