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Potenzreihenentwicklung einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Potenzreihe

lap00g

15:40 Uhr, 04.05.2019

Hallo,

gesucht ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion

f (x) = (x^{2} + 1) s i n (x)

an der Stelle

x_{0} = 0

. Dies sollt mittels Produktbildung zweier Potenzreihen gemacht werden.

g (x) := (x^{2} + 1)

h (x) := s i n (x)

Bei

g (x)

handelt es sich bereits um eine Potenzreihe, die nach dem 2. Reihenglied abbricht. Dies sei die Reihe

\sum_{n \geq 0}^{} a_{n} x^{n}

.

Die Potenzreihendarstellung der Sinus-Funktion ist gegeben durch:

\sum_{n \geq 0}^{} b_{n} x^{n} = s i n (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

Mittels Cauchy-Produkt:

(\sum_{n \geq 0}^{} a_{n} x^{n}) (\sum_{n \geq 0}^{} b_{n} x^{n})

= \sum_{n \geq 0}^{} (\sum_{k = 0}^{2} a_{k} b_{n - k}) x^{n}

= a_{0} b_{0} + (a_{0} b_{1} + a_{1} b_{0}) x + \sum_{n \geq 2}^{} (a_{0} b_{n} + a 1 b_{n - 1} + a_{2} b_{n - 2}) x^{n}

= \frac{x}{1!} + \frac{x^{3}}{3!} + \sum_{n \geq 2}^{} (b_{n} + x^{2} b_{n - 2}) x^{n}

= x + \frac{x^{3}}{6} + \sum_{n \geq 2}^{} ((- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + x^{2} (- 1)^{n - 2} \frac{x^{2 (n - 2) + 1}}{(2 (n - 2) + 1)!}) x^{n}

Vereinfachen:

= x + \frac{x^{3}}{6} + \sum_{n \geq 2}^{} (- 1)^{n} x^{2 n^{2}} (\frac{x}{(2 n + 1)!} + \frac{x^{- 6}}{(2 n - 3)!})

Kann das bis jetzt so stimmen? Kann man hier noch irgendwie weiter vereinfachen oder die Potenzreihe mittels eines Tricks auf eine schönere Form bringen?

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

17:05 Uhr, 04.05.2019

Hallo
Ehrlich gesagt, ich habe jetzt nicht jede Zeile ins Detail kontrolliert.
Wie du ja selbst sagst, erwägst du auch, dass das 'schöner' zu gestalten ist.

Mein Vorschlag wäre:

g \cdot h = (1 + x^{2}) \cdot \sum {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 \cdot n + 1}}{(2 \cdot n + 1)!}

= (1 + x^{2}) \cdot [x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ...]

= 1 \cdot [x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ...]

+ x^{2} \cdot [x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ...]

= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + . .

+ x^{3} - \frac{x^{5}}{3!} + \frac{x^{7}}{5!} - . .

= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + . .

+ \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{3}}{3!} - \frac{5 \cdot 4 \cdot x^{5}}{5!} + \frac{7 \cdot 6 \cdot x^{7}}{7!} - . .

= x + (3 \cdot 2 - 1) \cdot \frac{x^{3}}{3!} - (5 \cdot 4 - 1) \cdot \frac{x^{5}}{5!} + (7 \cdot 6 - 1) \cdot \frac{x^{7}}{7!} + . .

= x - \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (4 \cdot n^{2} + 2 \cdot n - 1) \cdot \frac{x^{2 \cdot n + 1}}{(2 \cdot n + 1)!}

lap00g

18:48 Uhr, 04.05.2019

Hallo,

danke, das ist ja genial!

Aber wie kommt man dann im letzten Schritt auf

4 n^{2} + 2 n - 1

?

LG

anonymous

22:47 Uhr, 04.05.2019

Na ja, woher kommt dieses

(3 \cdot 2 - 1)

bzw.

(5 \cdot 4 - 1)

bzw.

(7 \cdot 6 - 1)

. .

.
?

lap00g

14:22 Uhr, 05.05.2019

Hallo,

ah, jetzt hab ich's...

((2 n + 1) 2 n - 1) = 4 n^{2} + 2 n - 1

.

Danke!

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