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Potenzreihenentwicklung von log

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Integration

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16:51 Uhr, 14.07.2012

Hallo zusammen

Wir hatten die Aufgabe, die Potenzreihe von

f (x) = log (\frac{1 + x}{1 - x})

x_{0} = 0

zu bestimmen mit dem Hinweis, dass wir die Ableitung betrachten sollen..

f' (x) = \frac{2}{1 - x^{2}}

[

gibt auch noch die Möglichkeit

\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x},

aber sollte ja auch so klappen

]

\frac{2}{1 - x^{2}} = 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot x^{2 n}

Nun integrieren:

2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} \cdot x^{2 n + 1}

Nun ist dies aber nicht die richtige Lösung, vor allem das

{(- 1)}^{n}

stimmt ja irgendwie überhaupt nicht..

Zudem verstehe ich nicht, ob ich den Startindex nun beim Integrieren um eins verkleinern müsste, schliesslich muss ich beim Differentieren den Index ja um eines vergrössern.. ??

Eine andere Möglichkeit wäre ja mit

\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- x)}^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(- 1)}^{n} + 1) \cdot x^{n}

Integrieren:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} + 1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}

was aber auch nichtder richtigen Lösung entspricht, oder zumindest noch nicht?? wie bringe ich das alternierende weg??

Vielen Dank für eure Hilfe!! sehe echt nicht, was ich falsch mache..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:02 Uhr, 14.07.2012

f' (x) = \frac{2}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2 x^{2 n}

also

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2}{2 n + 1} \cdot x^{2 n + 1}

und fertig, oder?

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17:04 Uhr, 14.07.2012

Oh, ich sehe jetzt, was ich bei der ersten Methode falsch gemacht habe.. Wenn es ja minus ist, muss ich das Minus nicht mit in die geometrische Reihe nehmen..
Danke..

Aber was habe ich denn bei der 2. Version falsch gemacht? Denn die Musterlösung geht von dieser Version aus und schreibt dann einzelne Terme auf und integriert dann,und nicht die ganze Reihe...

?

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17:08 Uhr, 14.07.2012

Bei

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} + 1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}

hast du eben noch unendlich viele Nullen dabei. Denn für jedes ungerade

n

wird die Folge über die summiert wird ja zu null.

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17:11 Uhr, 14.07.2012

ach so.. Interessant.. habe ich mir gar nicht überlegt.. Vielen Dank für den Hinweis..

Kannst du mir noch etwas zu dem Index sagen? wenn ich eine Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

ableite, ergibt dies ja:

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot n \cdot x^{n - 1}

also

n

beginnt bei 1 statt bei

0 .

. (gut eigentlich ja egal, weils für 0 einfach 0 geben würde??

\to

einfach damit nicht durch 0 dividiert wird?)

Muss ich das beim Integrieren auch irgendwie berücksichtigen? denn bei diesem Beispiel haben wir ja den Indexstart einfach gleich gelassen?

Ein ähnliches Problem habe ich auch bei folgender Aufgabe..
Potenzreihenentwicklung respektive einige Terme von

\int_{0}^{1} (sin (x \cdot t^{2}) d t

nach

x

um Mittelpunkt 0.

Dazu habe ich

sin (x \cdot t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} {(x \cdot t^{2})}^{2 n + 1}

integriert nach

t

.

Was bei mir

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} \frac{x^{2 n + 1}}{4 n + 3}

gibt, wenn ich es gerade auswerte an den Stellen

t = 1,0

Dies stimmt jedoch nicht mit der Lösung überein.. Wo mache ich hier den Fehler??

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17:17 Uhr, 14.07.2012

Kann es sein dass ich beim letzten Beispiel die Potenzregeln falsch anwende??

Ich dachte ja eigentlich:

{(x \cdot t^{2})}^{2 n + 1} = x^{2 n + 1} \cdot {(t^{2})}^{2 n + 1} = x^{2 n + 1} \cdot t^{4 n + 2},

aber mein Taschenrechner rechnet dies nicht so aus??

Wenn ich die Reihe ja dann integriere hätte ich ja alles mit

x, n

konstant, und

\int t^{4 n + 2} = \frac{1}{4 n + 3} t^{4 n + 3},

was obiges Resultat erklären würde..

Wahrscheinlich stelle ich mich wieder total blöde an, aber wäre echt froh um einen Hinweis..

:-) Vielen Dank..

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17:21 Uhr, 14.07.2012

Vergiss das mit dem Indexverändern schnell wieder. Im allgemeinen bleibt der Index so wie er ist! Wie du aber schon gesagt hast kann man bei

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot n \cdot x^{n - 1}

auch von

n = 1

starten, weil der Ausdruck für

n = 0

ja eh zu null wird. Aber im Allgemeinen ist das nicht so.
Zur anderen Frage: Es gilt doch

sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

also du hast die Fakultät im Nenner vergessen.

student11 aktiv_icon

17:22 Uhr, 14.07.2012

Habe ich jetzt auch gerade bemerkt..
Ein dummer Fehler..

Vielen Dank für deine Hilfe, hast mir echt super geholfen.. :-)

Shipwater aktiv_icon

17:23 Uhr, 14.07.2012

Keine Ursache.

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