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Preis-Absatz-Funktion x(p)=a-bp

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik, Preisabsatz, x(p)=a-bp

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14:58 Uhr, 22.09.2015

Hallo, ich habe eine Aufgabe zum Üben bekommen, aber in dieser Version verstehe ich die Vorgangsweise kein Stück!

Es sei die Preis-Absatzfunktion $x (p) = 20000 - 1000 p$ gegeben.
$a)$ Wie muss Preis $p$ gewählt werden damit der Gewinn maximal wird
$b)$ Wie hoch ist der Gewinn
$c)$ Wieviel wird verkauft?

Mich verwirrt die Form der Preisabsatzfunktion. Kann mir bitte jemand helfen? Im Internet finde ich nur andere Formen dieser Funktion, die dann auch in Erlös und Gewinnfunktion umgewandelt werden.

Andere Formen wären Sei $p (x) = x$ und $x (p) = p$
$x = 1500 - 50 p$
Das kann man dann wohl in $p$ umwandeln durch umformen:
$p = 30 - 0,002 x$

Auf dieser Seite: www.uni-protokolle.de/Lexikon/Preis-Absatz-Funktion.html
wird die Preisabsatzfunktion in der Form $p (x) = x$ dargestellt und damit gerechnet.

Kann ich nun meine Funktion $x (p) = 20000 - 1000 p$ nehmen und exakt den Weg nehmen, der auf dieser Seite für $p (x) = x$ gegeben ist oder muss ich $x (p)$ erst in $p (x)$ umwandeln? Aber ich suche den Preis $p \in a)$ und nicht die Absatzmenge $x : ($

Zudem verstehe ich nicht wieso die Ableitung der Kostenfunktion auf der Seite $K = 10 - 0.8 x$ abgeleitet $K' = + 0.8 x$ ist. Müsste das nicht auch $- 0.8 x$ sein? Oder wird das - weggelassen, weil es keine negativen Kosten geben kann???

In der Aufgabe wäre es an der Stelle entscheident, ob dann $20000 - 2000 p = - 1000$ oder $20000 - 2000 p = + 1000$ ist (sofern man einfach mit $x (p) = 20000 - 1000 p 1 : 1$ wie auf der Seite für $p (x)$ rechnen kann)

Kann mit bitte bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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15:46 Uhr, 22.09.2015

$x = x (p)$ gibt an, welche Menge $x$ bei einem Preis $p$ abgesetzt werden kann.

Erlös $E (x) \cdot x (p) \cdot p = (20000 - 1000 p) \cdot p = 20000 p - 1000 p^{2}$

Erlösmaximum: $E' (x) = 0 - \to 20000 p - 2000 p = 0 - - \to P = 10$

Bei einem Preis von $10$ ist der Erlös maximal und liegt bei $100000$ .

Der Gewinn lässt sich nur ermitteln, wenn man die Kostenfunktion $K (x)$ kennt.
Damit ist aber ein andere Kostenfunktion als die im Link gemeint,wo PAF und Kostenfunktion gleichgesetzt werden, was mich sehr irritiert. Mit Kostenfunktion ist normalerweise die Funktion gemeint, die die Kosten $(= z . B$ . Summe aus variablen Kosten und Stückkosten) in Abhängigkeit von der produzierten Menge angibt.
Diese aber ist hier nicht gegeben. Deshalb kann man den Gewinn nicht ermitteln.

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16:08 Uhr, 22.09.2015

Achso. Das habe ich bisher nicht gefunden.

Benötige ich dann wohl von Teilaufgabe $1,$ die vorher war, die Kostenfunktion.

Herstellung von 1 Stück $= 10$ Cent
In 1 Packung $= 5$ Stück
Fixkosten 24500€
1 Packung wird für 2€ verkauft.

Dann wäre die Kostenfunktion doch $K (x) = (2 - (5 \cdot 0,1)) \cdot x - 24500$ ?

So nebenbei, dann wäre $x = 16333,333$ . Es müssten also $x = 16333,333$ Stück produziert werden um Kostendeckend arbeien zu können und alles drüber, wie $z . B$ . $16334$ wäre Gewinn, oder?

Man hätte dann also eine Kostenfunktion $K (x) = 1,5 \cdot x - 24500$ und die Preis-Absatzfunktion $x (p) = 20000 - 1000 p$

Nur weiß ich nicht wie ich damit nun weiterrechnen soll.

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16:44 Uhr, 22.09.2015

Du musst hier statt $K (x)$ schreiben $G (x) :$

Gewinn = Erlös - Kosten

$G (x) = E (x) - K (x)$

$E (x) = 2 x$
$K (x) = 0,5 x + 24500$ jeweils pro Packung.

Es müssen also $16334$ Packungen verkauft werden um kostendeckend zu arbeiten.
Bei dieser Menge ist der Gewinn Null. Er werden die Fixkosten abgedeckt.
Mit jeder weiteren verkauften Packung ergibtt sich ein Gewinn von $1,5$ Euro. Der $max$ . Gewinn hängt nun nur noch von der Produktionskapazität ab.

Bezogen auf die andere Teilaufgabe würde das Folgendes bedeuten:

Bei einem Preis von 2 Euro ließen sich absetzen:

$x (2) = 20000 - 1000 \cdot 2 = 18000$ Packungen

$G (18000) = 18000 \cdot 2 - 18000 \cdot 0,5 - 24500 = 2500$

Ich gehe davon aus, dass bei der PAF $x$ die Anzahl der Packungen bedeutet und $p$ den Preis pro Packung.

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18:23 Uhr, 22.09.2015

Ok, also den ersten Teil verstehe ich jetzt.

Bei dem zweiten Teil müsste $x =$ Anzahl der Packungen und $p$ der Preis sein, genau.

Also wäre bei $a)$ dann maximale Gewinn wenn man Kostenfunktion und Preis-Absatzfunktion kombiniert:

$G (x) = E (x) - K (x)$
$= (- 1000 x + 20000) \cdot x - (0.5 x - 24500)$
$= - 1000 x^{2} + 20000 x - 0.5 x - 24500$
$= - 1000 x^{2} + 19999,5 x - 24500$

Ableitung für Maximum:
$G' (x) = - 2000 x + 19999,5 I : 2000$
$0 = - x + 9.99975 I + x$
$x = 9.99975$

Überprüfung des Maximum:
$G'' (x) = - 2000$
$G'' (9.99975) = - 2000$
$- 2000 < 0$

Also liegt das Preismaximum bei $p =$ 9.99975€

(Nach deinem Hinweis mit der kostenfunktion habe ich diesen Weg hier gefunden, nachdem ich das dann berechnet habe):
www.wiwi.europa-uni.de/de/lehrstuhl/fine/makro/Angebote_fuer_Schueler/Aufgabe_des_Monats/Aufgaben_Musterl__sungen/AdM_Mai13.pdf

Dann wäre $c)$ in diesem Fall also

x(9.99975)=20000−1000⋅9.99975= $10000.25$ Packungen

Nur bei
G(10000.25)=10000.25⋅2−10000.25⋅0,5−24500= $- 9499.625$
käme bei mir etwas negatives raus.
Also kann da doch wieder in meiner Rechnung etwas nicht stimmen $: ($

Auch wenn ich die Vorgehensweise von Seite $259$ von
books.google.de/books?id=jNaISTI9UpsC&pg=PA250&lpg=PA250&dq=x%28p%29+preisabsatz&source=bl&ots=Giuesq_ppC&sig=xtKvhj53Afre24x7iGAqNQAYM88&hl=de&sa=X&ved=0CF0Q6AEwC2oVChMIsrvn99uKyAIVxt4sCh1NdwPI#v=onepage&q=x%28p%29%20preisabsatz&f=false

anwende kommt bei $p \cdot 12260$ und bei $x (p \cdot) - 122580000$ raus. Das kann nicht stimmen $: ($

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