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Primelemente in Z[i]

Universität / Fachhochschule

11:42 Uhr, 12.08.2022

Servus meine Freunde, ich verstehe den 3. Fall net wirklich.
Also wenn

p \equiv 1 (m o d 4)

.
Also nach einer Folgerung von Wilson's Theorem wissen wir, dass jede Primzahl

p

der Form

p = 4 m + 1

n^{2} + 1

teilt, wobei

n = (2 m)!

.
Wenn jetzt

p ∣ n^{2} + 1 = (n + i) (n - i)

und

π ∣ p

, dann gilt

π ∣ n + i

oder

π ∣ n - i

, da

π

ein Primelement ist in

ℤ [i]

. Falls

p

nun einer der zwei Faktoren

n + i

n - i

teilt, dann auch beide, da

p

reell ist. Wenn also

p

z.B

n + i

teilt dann auch

n - i

und dann auch deren Summe und Differenz, d.h

2 n

und

2 i

. Da

p

ungerade ist, gilt

p ∣ n

und

p ∣ 1

, was nicht moeglich ist.
Das Ding jetzt ist, wir haben einen Widerspruch erzeugt, d.h doch, weil

p ∣ n^{2} + 1

muss doch gelten

π

teilt nicht

p

. Demnach sind

p

und

π

nicht assoziiert zueinander und ihre Norm daher verschieden, d.h

n (p) \neq n (π)

. Somit gilt

a^{2} + b^{2} = p

.
Naja so hab ichs verstanden.
Das Ende macht mich stutzig. Da wird gesagt, dass wenn

π = a + b i

und

a^{2} + b^{2} = p

, dann ist erst

π

prim in

ℤ [i]

, also praktisch die Rueckrichtung von dem, was die gezeigt haben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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