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Primzahl

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Körper

Tags: Ganze Zahlen, Körper

Didgeridoo aktiv_icon

13:21 Uhr, 09.10.2010

Ich muss zeigen für welche

n \in ℕ

ℤ_{p^{n}}

ein Körper ist.

Bei n=0 bekomme ich die Menge aller ganzen Zahlen mit den Verknüpfungen

+

und

\cdot

. Zwar ist

(ℤ, +)

eine abelsche Gruppe und das Distributivgesetz gilt ebenfalls aber bei

(ℤ, \cdot)

bekomme ich ja nicht ein Inverses für jedes Element in

ℤ

, entsprechend ist es keine abelsche Gruppe und damit das ganze kein Körper!
Kann man deshalb sagen, dass für kein

n \in ℕ

ℤ_{p^{n}}

ein Körper ist, da immer bei der multiplikativen Verknüpfung das Inverse fehlt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren
Raummessung

hagman aktiv_icon

13:39 Uhr, 09.10.2010

Nein, das kann man nicht.

ℤ / p^{n} ℤ

mit

p

Primzahl und

n \in ℕ_{0}

ist genau dann Körper, wenn

n = 1

.

Übrigens hast dum im Fall

n = 0

nicht

ℤ

sondern einen einelementigen Ring (demnach ohne Einselement)

Didgeridoo aktiv_icon

13:58 Uhr, 09.10.2010

Wieso? Das neutrale Element wäre ja bei

(ℤ_{p}, \cdot)

1, aber was ist dann das inverse Element jeweils? Es existiert doch gar kein

b \in ℤ_{p}

sodass

\forall a \in ℤ_{p}

a \cdot b = 1

gilt, was mache ich falsch?

hagman aktiv_icon

17:23 Uhr, 09.10.2010

Das Axiom zum inversen Element lautet nicht

\exists b \in K : \forall a \in K \ {0} : a \cdot b = 1,

sondern

\forall a \in K \ {0} : \exists b \in K : a \cdot b = 1,

Didgeridoo aktiv_icon

18:00 Uhr, 09.10.2010

Stimmt, sorry! Aber das beantwortet meine Frage noch nicht! Für

a, b \in ℤ_{p}

ist ja die Gleichung

a \cdot b = 1

niemals erfüllt?!

hagman aktiv_icon

18:08 Uhr, 09.10.2010

Was ist denn beispielsweis 5 mal 7 wenn du in

ℤ / 17 ℤ

rechnest?

Didgeridoo aktiv_icon

18:45 Uhr, 09.10.2010

Ach so, jetzt versteh ich, wie das gemeint ist. Danke schonmal! Dann wäre in modulo 17 gerechnet 5*7=1. Dann kann man sagen, dass

ℤ_{p^{n}}

nur für n=1 gilt, weil man bei

n \geq 2

Nullteiler bekommt. z.B. bei p=3 und n=2, 2*3=0? Gibt es da vielleicht einen formalen mathematischen Beweis dazu?

el holgazán aktiv_icon

19:04 Uhr, 09.10.2010

2 \cdot 3 = 6 \neq 9 = 0

mod

3^{2}

hagman aktiv_icon

19:05 Uhr, 09.10.2010

Bei

p = 3

und

n = 2

ist aber 3 nicht deshalb Nullteiler, weil etwa

2 \cdot 3 = 0

wäre (ist es nämlich nicht,

2 \cdot 3 = 6)

. Vielmehr ist

3 \cdot 3 = 0,

allgemeiner ist

p \cdot p^{n - 1} = 0

.
Kannst du auch umgekehrt zeigen, dass

ℤ / p ℤ

Körepr ist?

Didgeridoo aktiv_icon

21:39 Uhr, 09.10.2010

Ja klar! Heute ist wirklich etwas los mit mir!!!
Ein kommutativer Ring mit 1, indem jedes Element ungleich 0 ein multiplikatives Inverses besitzt, heisst Körper.
Dass

ℤ_{p}

ein kommutativer Ring mit 1 ist, ist trivial. Zu zeigen bleibt, dass jedes Element ungleich 0 ein multiplikatives Inverses besitzt. Dies kann man durch Widerspruch beweisen: Falls p keine Primzahl wäre, könnte man: p durch

s \cdot t

wobei

s, t \in ℤ ∖ {0}

ausdrücken. In

ℤ_{p}

würde folgen:

[s] \cdot [t] = [0]

wobei [s] und [t] ungleich null. In einem Körper gilt allerdings:

\forall a, b \in K : a * b = 0 \to a = 0

oder

b = 0

Beweis:
Wenn

a \neq 0

, dann existiert auch das inverse Element

a^{- 1}

b = 1 * b

(da 1 das neutrale Element bzgl. der Multiplikation ist)

= a^{- 1} * a * b

(

a^{- 1} * a = 1

gemäss Definition)

= a^{- 1} * 0 = 0

\to b = 0

Dies ist ein Widerspruch! Also ist

ℤ_{p^{n}}

nur für n=1 ein Körper, ansonsten gibt es Nullteiler!!
Ist das so richtig?
Danke vielmals für eure Geduld und Hilfe!

el holgazán aktiv_icon

02:16 Uhr, 10.10.2010

Es ist nicht trivial, dass

ℤ_{p}

ein Ring ist. Zum Beispiel ist nicht einmal die Wohldefiniertheit offensichtlich:

Es gilt:

1 \equiv 8

und

3 \equiv 10

mod 7.
Es ist nun überhaupt nicht offensichtlich, dass

1 + 8 \equiv 3 + 10

mod 7

Trivial ist etwas nur genau dann, wenn es direkt aus der Definition folgt - das ist hier aber nicht der Fall. Wenn du also sagst, dass es trivial sei, dass

ℤ_{p}

ein Ring ist, machst du es dir zu einfach.

Ausserdem hast du mit deinem Widerspruchsbeweis nur gezeigt, dass

ℤ_{p^{n}}

_kein_ Körper ist, falls

n \neq 1

- das haben wir aber weiter oben schon einfacher festgestellt.

Dein Argument lautet:
Sei

ℤ_{p}

Körper.
"Falls p keine Primzahl wäre" ... Widerspruch

\Rightarrow

p ist Primzahl

Aber das ist eben nicht was du zeigen sollst.

Didgeridoo aktiv_icon

12:04 Uhr, 10.10.2010

Könnt ihr mir nicht einen Tipp geben, ich bin völlig ratlos, wie ich das angehen soll!

el holgazán aktiv_icon

13:11 Uhr, 10.10.2010

Kennst du den erweiterten Euklidischen Algorithmus?
Bzw, weisst du, dass aus

g c d (a, b) = 1

folgt, dass

\exists x, y \in ℤ : 1 = a x + b y

Wenn nicht, dann musst du es anders machen:
Sei

a \in ℤ_{p}

. Wir wollen nun ein b finden mit

a b \equiv 1

mod p.
Dazu betrahchten wir alle Potenzen:

a, a^{2}, a^{3},

...
von denen es unendlich viele gibt. Aber es gibt nur endlich viele Elemente in

ℤ_{p}

also...

Und nun darfst du weiter machen ;-)

Aber Achtung - der Beweis ist nicht einfach, wenn man ihn in allen Details sauber machen will.

Didgeridoo aktiv_icon

15:35 Uhr, 10.10.2010

Nein, den Euklidischen Algorithmus kenn' ich nicht!
Ich habs nochmals anders probiert:
Sei 1≤a<p in

ℤ_{p}

zu zeigen bleibt, dass ein a' existiert sodass a*a'=1.
Man betrachtet die Produkte:

0 \cdot a, 1 \cdot a, 2 \cdot a, . . ., (p - 1) \cdot a

Angenommen es wäre

h \cdot a = k \cdot a

mit

h \neq k

\to h a - k a = (h - k) a

ist durch p teilbar. p kann a nicht teilen, da a<p. p muss also (h-k) teilen, da h≤p-1 und k≤p-1 liegt die Zahl zwischen -(p-1) und (p-1). Die einzige Zahl in diesem Intervall, die durch p teilbar ist, ist null.
Daher muss

h - k = 0

\to h = k

, was ein Widerspruch zur Annahme ist.
Soweit bin ich gekommen. Wie komme ich von hier aus zum Schluss, dass jedes Elemnt ungleich null ein Inverses besitzt?

hagman aktiv_icon

12:53 Uhr, 11.10.2010

Wenn die