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Primzahl Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Primzahl

 
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nadien

nadien aktiv_icon

21:45 Uhr, 30.05.2023

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Zeigen Sie, dass für m die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(1) Das Ideal (m) ist maximal.
(2) m ist eine Primzahl.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

08:30 Uhr, 31.05.2023

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Hallo,

ich würde die (doppelte) Kontraposition versuchen zu beweisen:
(1') Das Ideal (m) ist NICHT maximal.
(2') m ist Keine Primzahl.

Grundlage des Beweises:
* Sind aR und bR (Haupt-)Ideale ein kommutativen Hauptidealringes, so ist aRbR äquivalent zu ba.
(Das ist ein Zweizeiler und vermutlich in der Vorlesung Thema gewesen.)
* ist euklidisch, also insbesondere ein Hauptidealring.

Damit:
"(1')(2')":
Wenn (m) (in meiner Schreibweise m) NICHT maximal ist, so gibt es ein Ideal I, I, in dem es echt(!) enthalten ist: (m)I
Da I ein Hauptideal sein muss, gibt es also ein n mit I=(n). Klar: n1, sonst I=(n)= im Widerspruch zur Wahl von I.
Wegen des Fakts oben gilt: nm
Würde auch mn gelten, so würde daraus (s.o.) (n)(m) und damit (n)=(m) gelten im Widerspruch zur Wahl von I=(n).
Damit gezeigt: n ist ein echter Teiler von m, d.h. m nicht prim.

Umgekehrte Richtung ist viel einfacher: Ist m nicht prim, so gibt es einen echten Teiler n vom m, woraus folgt, dass (m)(n) gilt, (m) also nicht maximal ist.

Soll heißen: Der Beweis beruht schwer auf obigem Fakt. Wenn ihr das hattet, dann wie eben. Wenn nicht, dann selber beweisen. Ist nicht so schwierig.

Mfg Michael
Frage beantwortet
nadien

nadien aktiv_icon

11:32 Uhr, 31.05.2023

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Vielen Dank michaL