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Primzahl Beweis
Universität / Fachhochschule
Tags: Primzahl
 
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Zeigen Sie, dass für die folgenden Aussagen äquivalent sind: (1) Das Ideal ist maximal. (2) ist eine Primzahl. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ich würde die (doppelte) Kontraposition versuchen zu beweisen: (1') Das Ideal ist NICHT maximal. (2') ist Keine Primzahl. Grundlage des Beweises: * Sind und (Haupt-)Ideale ein kommutativen Hauptidealringes, so ist äquivalent zu . (Das ist ein Zweizeiler und vermutlich in der Vorlesung Thema gewesen.) * ist euklidisch, also insbesondere ein Hauptidealring. Damit: "(1')(2')": Wenn (in meiner Schreibweise ) NICHT maximal ist, so gibt es ein Ideal , , in dem es echt(!) enthalten ist: Da ein Hauptideal sein muss, gibt es also ein mit . Klar: , sonst im Widerspruch zur Wahl von . Wegen des Fakts oben gilt: Würde auch gelten, so würde daraus (s.o.) und damit gelten im Widerspruch zur Wahl von . Damit gezeigt: ist ein echter Teiler von , d.h. nicht prim. Umgekehrte Richtung ist viel einfacher: Ist nicht prim, so gibt es einen echten Teiler vom , woraus folgt, dass gilt, also nicht maximal ist. Soll heißen: Der Beweis beruht schwer auf obigem Fakt. Wenn ihr das hattet, dann wie eben. Wenn nicht, dann selber beweisen. Ist nicht so schwierig. Mfg Michael |
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Vielen Dank michaL |
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