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Primzahlen und Nicht-Primzahlen
Lehrer
Tags: Ausnahmen, einzuteilen?, Primzahl, und Nicht-Primzahlen, Zahl
 
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Sind die Zahlen ohne Ausnahmen in Primzahlen und Nicht-Primzahlen einzuteilen? Ich glaube, ja. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Denkst du, es gibt noch "Halb-und-halb-Zahlen"? Es wäre allerdings günstig zu sagen, in welchen Bereich (natürliche Zahlen oder umfassender?) du unterwegs bist. Ich hoffe übrigens, das du "Nicht-Primzahlen" nicht als Synonym für "zusammengesetzte Zahlen" verwendest. |
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Es gibt zweifellos Zahlen, die Primzahlen sind. Wenn du jede andere Zahl, also zB eine Nicht-Primzahl nennen willst, dann hast du damit eine vollständige Partition aller Zahlen. So wie du, da du ja im Lehrer-Forum schreibst, die Gesamte Menschheit ohne Ausnahme, in Lehrer und Nicht-Lehrer einteilen kannst. Der Sinn einer solchen Einteilung darf hinterfragt werden, aber die Einteilung ist zweifellos möglich. |
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Ja, ich meinte zusammengesetzte Zahlen. Es geht darum: Wenn man 1 nicht als Primzahl gelten läßt, gibt es drei Gruppen von Zahlen: zusammengesetzte, Primzahlen und die 1. Wie sollen diese drei zu einem konsistenten System zusammenpassen? |
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gibt es drei Gruppen von Zahlen: zusammengesetzte, Primzahlen und die 1. Dir ist aber schon bewusst, dass es da auch noch eine Null gibt, dass es auch negative Zahlen gibt und auch rationale, irrationale und nicht-reelle Zahlen !? Wie sollen diese drei zu einem konsistenten System zusammenpassen? ??? in welcher Hinsicht "konsistent" und welches "System"??? |
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Ich meine nur ganze zählbare positive Zahlen. Die Null besitzt keine Zählbarkeit. Unter konsistentem System verstehe ich proportionale Summenverhältnisse zwischen zusammengesetzten (zZ) und Primzahlen (PZ), . der Zahlen zZ: PZ: . Das Verhältnis der beiden Summen ist . Ohne Einbeziehung der 1 ließe sich keine Ordnung erkennen. |
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Ich meine nur ganze zählbare positive Zahlen. Was soll das wieder bedeuten? Auch die rationalen Zahlen sind (ab)zählbar! Die Null besitzt keine Zählbarkeit. ????? Du sprichst wirr! Was um Gottes Willen soll denn für dich eine "Zählbarkeit" einer Zahl sein? Diesen Begriff gibts einerseits in der deutschen Grammatik und den wirst du wohl nicht meinen. Und dann gibt es diesen Begriff für physikalische Größen und auch noch bei der Mächtigkeit von Mengen. In beiden Fällen spielt die Null selbstverständlich mit! Unter konsistentem System verstehe ich proportionale Summenverhältnisse Würdest du den Begriff "Proportionales Summenverhältnis" bitte definieren! Vielleicht im Gegensatz zu einem "nichtproportionalen Verhältnis"? Du weißt schon, dass eine Proportion eine Verhältnisgleichung ist, oder? Und worin besteht für dich da die "Konsistenz"? zwischen zusammengesetzten (zZ) und Primzahlen (PZ), . der Zahlen 1−13: zZ: PZ: . Das Verhältnis der beiden Summen ist 7⋅(7:6). Was soll das vor der Klammer? Das Verhältnis ist und aus. Du nimmst also eine (beliebige ?) Teilmenge aus deiner Grundmenge und addierst sowohl die darin enthaltenen Primzahlen als auch die Nicht-Primzahlen und bildest dann das Verhältnis dieser Summen!? Wozu soll das gut sein? Ohne Einbeziehung der 1 ließe sich keine Ordnung erkennen. Du weißt aber schon, dass "Ordnung" (und auch Wohlordnung) wohldefinierte mathematische Begriffe sind, oder? Der Begriff existiert in mehreren Teilgebieten der Mathematik (zB Mengenlehre, Gruppentheorie, Zahlentheorie, DGLen, Du verwendest den Begriff hier aber offensichtlich in einer sehr freien, nebulosen Bedeutung und es ist völlig unklar, welche "Ordnung" du zu erkennen meinst. Irgendwie gewinne ich immer mehr den Eindruck, dass du mit deiner Frage nicht wirklich Mathematik betreiben möchtest. Worum gehts dir also? |
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Ich bin froh, einen Mathematiker vor mir zu haben, der in etablierter Begrifflichkeit denkt und jede Abweichung davon seismographisch wahrnimmt. Ich bin kein Mathematiker, sondern beschäftige mich mit Beziehungen zwischen der lateinischen Sprache und dem Dezimalsystem, zu lesen unter decemsys.de. Bekanntlich ist die Mathematik eine axiomatische Wissenschaft, die von Gegebenheiten ausgeht, aber nicht deren Ursprünge erforscht. Eben dies haben die Römer in einem Aspekt getan, indem sie eine Bedeutungslehre der Zahlen entwickelten, entsprechend den Möglichkeiten des Dezimalsystems. Hier ist etwa Pythagoras zu nennen, der in vollkommenen Zahlenverhältnissen dachte und von dem auch die Vorstellung der Sphärenharmonie stammt. Unverzichtbar bei der Zahlenbetrachtung ist die fortlaufende Zählung von Faktoren, deren Summen (FS) Verhältnisse zu den Zahlensummen (ZS) bilden. . das FS:ZS-Verhältnis der Zahlen ist . Die Darstellungsweise des Verhältnisses ist sicherlich ungewöhnlich und ich bin auf deren Kritikwürdigkeit bereits einmal hingewiesen worden. Wenn aber sowohl der gemeinsame Teiler als auch das Verhältnis selbst von Bedeutung ist, muß man es so darstellen, daß man es auch so lesen kann. Dafür habe ich keine bessere Form gefunden. Eben wegen der Bedeutung der Faktoren setze ich mich für die Anerkennung der 1 als Primzahl ein. Denn ihr Zahlenwert ist 1 und ihr Faktorenwert ebenfalls wie bei allen Primzahlen. In der englischen Wikipedia heißt es unter "prime number", daß bis die in den Primzahllisten stand. Sie aus den Primzahlen auszuschließen, ist lediglich eine Konvention – mit der unangenehmen Folge, daß man sie bei der Einteilung der Zahlen immer als Sonderfall mitschleppen muß. Die Null ist nicht zählbar und zählbar zugleich. Null Apfel ist eben kein Apfel. Aber Null ist der Ausgangspunkt für ein erstes Maß. Leider habe ich in der Mathematik nirgends diese Unterscheidung gelesen. Betrachte ich die Grundzahlen von als Punkte, begrenzen sie 8 Maße. Darum geht es mir also im wesentlichen. |
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"Sie aus den Primzahlen auszuschließen, ist lediglich eine Konvention – mit der unangenehmen Folge, daß man sie bei der Einteilung der Zahlen immer als Sonderfall mitschleppen muß." Welche unangenehme(re)n Folgen, es hätte, die 1 als Primzahl zu betrachten, ist dort aber auch (und nur andeutungsweise) aufgezählt. Und wieso beklagst du "als Sonderfall mitschleppen"? Würde man 1 als Primzahl akzeptieren, wäre sie dann ja auch ein Sonderfall der Primzahlen (weniger als 2 Teiler). |
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Ja, Primzahlen waren durchaus unterschiedlich definiert, mal mit, mal ohne 1 und gelegentlich sogar ohne 2. Wesentlich ist nur, dass man, bevor man einen Begriff verwendet und darauf aufbaut, diesen Begriff eindeutig definiert. Es gibt sehr gute Gründe dafür, dass man heute in der Mathematik die 1 nicht als Primzahl betrachtet, aber es steht dir natürlich frei, in eigenen Publikationen eine andere Definition für "Primzahl" zugrunde zu legen. Du musst dann aber, wenn deine Definition von der üblichen Konvention abweicht, explizit auf diesen Umstand hinweisen und eine genaue Definition angeben, was für dich eine "Primzahl" sein möge. Beachte dabei aber auch, dass dann manche Aussagen über Primzahlen unter Umständen nicht mehr gelten, da diesen ja eine andere Definition zugrunde liegt. Beispielsweise würdest du bei Betrachtung der 1 als Primzahl die für viele weitere Sätze wichtige Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl verlieren. Und für andere Sätze, die für "deine" Primzahlen weiterhin gelten und die du verwenden möchtest, müsstest du jeweils einen Beweis vorlegen, dass sie eben auch unter Zugrundelegung deiner Definition gültig sind. Es ist eben in der Mathematik (und nicht nur dort) essentiell, Begriffe, die man verwendet und über die man sprechen und diskutieren möchte, erstmal klar und eindeutig zu definieren. Das gilt eben auch für viele von dir in deinen Postings verwendeten Begriffe - bevor die nicht eindeutig definiert sind, sodass wir alle wissen, was konkret damit gemeint ist, ist es müßig, darüber diskutieren zu wollen. Was zB eine "fortlaufende Zählung von Faktoren" sein soll bleibt nach wie vor im Dunkel und wenn du schreibst, so ist das zumindest aus mathematischer Sicht schlicht und einfach falsch. Wenn du ein Gleichheitszeichen schreibst, so müssen die beiden Seiten eben gleich sein. Links steht aber gekürzt und rechts . Das ist nicht gleich und somit ist das Gleichheitszeichen falsch, unabhängig davon, was du mit dieser Schreibweise eigentlich wirklich zum Ausdruck bringen wolltest. |
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Bei einer natürlichen Zahlenbetrachtung muß man, meine ich, zunächst von der niedrigsten Zahl 1 ausgehen. Dann ist zu bedenken, daß eine zusammengesetzte Zahl nicht einfach da ist, sondern eine Stelle in einer Multiplikationsreihe einnimmt. Also ist die Multiplikationreihe für oder . Jede Zahl beginnt also mit der Multiplikation 1. Für die Primzahlen (PZ) gilt also 1*PZ, 2*PZ, 3*PZ usw. Nun ist aber die unterste aller multiplizierbaren Zahlen 1 selbst. Also kann 1 entweder nur einmal geteilt werden oder man sagt: 1 ist durch sich selbst und durch 1 teilbar. Denn 1 ist sowohl Multiplikator als auch Multiplikand. Es ist sollte also erkennbar sein, daß alle Zahlen aus der 1 hervorgehen. Bleibt man bei der bisherigen Definition der Primzahlen, kann man zur 1 erklären: In der 1 fallen beide Definitionen der Primzahl zusammen, und damit wäre das Problem erledigt. Für zusammengesetzte Zahlen ist die Definition zu formulieren: Eine zusammengesetzte Zahl ist durch zwei oder mehr Faktoren größer 1 teilbar. Ich frage: Sind meine Überlegungen eine tragbare Sichtweise? |
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Bei einer natürlichen Zahlenbetrachtung muß man, meine ich, zunächst von der niedrigsten Zahl 1 ausgehen. Was soll das heißen? Was meinst du damit? "muß man" ist schon per se falsch und zu vergessen. Man muss ganz sicher gar nix!! Meinst du mit "natürliche Zahlenbetrachtung" die Definition der natürlichen Zahlen? Und was meinst du mit "von der niedrigsten Zahl 1 ausgehen"? Meinst du damit, dass man definieren soll, dass 1 die kleinste natürliche Zahl ist? Seit ca. Jahren gibt es eine Norm, die festlegt, dass 0 eine (und zwar die kleinste) natürliche Zahl ist und diese Zahlenmenge mit zu bezeichnen ist. In manchen mathematischen Teilgebieten ist es günstiger, die Null mitzunehmen, in anderen wäre es besser, die Null nicht dabei zu haben. Die erste Gruppe hatte sich in den späten 70er Jahren des vergangenen Jahrhunderts bei der Normerstellung eben durchgesetzt. Die Menge, die man vorher als die natürlichen Zahlen bezeichnet hatte, die wird nun mit bezeichnet. Wie vorhin schon erläutert - alles Definitions-, also Vereinbarungssache. Es gibt kein Gesetz, welches dich zwingt, sich an solche Normen zu halten. Wenn du es in deiner Publikation nicht tun möchtest, gib das eben einfach an, dass für dich eben eine andere Menge ist als jene, die die Norm festlegt. Ich frage: Sind meine Überlegungen eine tragbare Sichtweise? Du bist völlig frei, für alle Dinge des Lebens deine eigenen Definitionen zu kreieren. Du kannst deinen Sessel gern als "Elefant" bezeichnen und deinen Kanarienvogel als "Fundament", weil du das "logisch" findest und aus gewissen Gründen der Meinung, dass man das einfach so bezeichnen MUSS. Die Kommunikation mit anderen Menschen könnte so aber vielleicht ein wenig leiden und mühsam werden, wenn man sich partout nicht an Konventionen halten möchte. |
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Meine Überlegungen zum Verständnis von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen habe ich soeben gepostet Antwort auf Abakus). Sind sie plausibel? Ich verstehe, daß meine Darstellungsweise von Verhältnissen mathematische Zeichen verwendet, die keinen Sinn ergibt. bedeutet doch eigentlich . Ich könnte mir etwa vorstellen zu schreiben . Der gemeinsame Teiler würde durch vorgesetzte Klammer angezeigt. Ist das tragbar? |
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bedeutet doch eigentlich . Nicht in meiner Welt, aber wenn DU das so definieren möchtest . ;-) Der gemeinsame Teiler würde durch vorgesetzte Klammer angezeigt. Ist das tragbar? Definitionssache ;-) Mathematisch korrekt wäre zB Du könntest auch einfach angeben, dass das Verhältnis der zwei Zahlen und ihr ggT ist. Du könntest auch eine Abbildung mit mit ggT(u,v)=1 und g=ggT(a,b) defnieren. Da würde dann gelten. Aber mit dem Gleichheitszeichen sollte man vorsichtig umgehen. |
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"Eine zusammengesetzte Zahl ist durch zwei oder mehr Faktoren größer 1 teilbar." Bingo. Was du vermeiden wolltest (1 als Sonderfall mitschleppen) bringst du jetzt selbst als auszuschließenden Sonderfall in deine höchstpersönliche Definition ein. Über deine Ziele kann ich nur mutmaßen. Distinktionsgewinn? |
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Wie vorhin schon erläutert - alles Definitions-, also Vereinbarungssache. wenn man sich partout nicht an Konventionen halten möchte. Mir geht es um Wahrheitserkenntnis. Wahrheit und Konventionen haben es offensichtlich mit verschiedenen Ebenen des Denkens zu tun. Klar ist, wissenschaftliches Arbeiten muß auf definierten und logisch stimmigen Prämissen aufbauen. Konventionen sind weder wertfrei noch alternativlos. Sie können der Wahrheit dienen, tun es aber nicht in jedem Fall. Wie ich darlegte, könnte eine alternative Konvention die 1 auch als Primzahl einbeziehen. Ich danke vielmals für die Vorschläge zur Darstellung von Zahlenverhältnissen. |
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Ich habe zwei Definitionen vorgelegt, für Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Ich halte sie nicht für zu lang. Definitionen sind das Ergebnis von Überlegungen und Erkenntnissen. Eine Definition ohne Begründung ist unzureichend. Auch die konventionelle Mathematik gibt eine Begründung, warum 1 keine Primzahl sein soll. Es gibt Bereiche der Zahlenbetrachtungen, die auf einer anderen Ebene liegen als der, in der die konventionelle Mathematik zu Hause ist. Auf dieser anderen Ebene ist Sinndenken wesentlich. Dieses kann in 1 nichts anderes sehen als eine Primzahl. Unter "Zahl 1" der Wikipedia und dem Unterpunkt "Sonstige Bedeutungen" heißt es In der Zahlensymbolik wird die 1 als Symbol für alles, den Anfang oder Gott verwendet. Logisches Denken gibt es nicht nur in der Mathematik. Aber es gibt Mathematiker, die keine andere Denkebene kennen als die ihres Fachs. Es sind die anzuerkennen, die gewissenhaft die Regeln ihrer Wissenschaft beachten, aber auch die, die neue Wege gehen und neues wissenschaftliches Denken begründen. |
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