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Primzahlordnung, Gruppe, Normalteiler

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Didgeridoo

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14:25 Uhr, 14.08.2011

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Sei G eine endliche Gruppe und N ein Normalteiler mit der Ordnung p (Primzahl) von G. Zeigen Sie: Ist p der kleinste Primteiler von |G|, dann ist N das Zentrum von G.
Meine Idee: N ist Normalteiler, also gN=Ng,∀g, d.h. N ist sicher im Zentrum. z.z. bleibt noch, dass es kein gʹ∈G∖N gibt mit ggʹ=gʹg. Aber wie kann ich das zeigen? G hat sicherlich eine p-Sylowuntergruppe H, mit ∣H∣=pe. Bringt mir das irgendwas?
Vielen Dank schon jetzt für eure Hilfe.
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michaL

michaL aktiv_icon

22:37 Uhr, 18.08.2011

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Hallo,

falls die Sache noch aktuell ist:

G operiert auf N vermöge Konjugation, d.h. wir definieren g⋅x:=g-1xg. (Für x∈N ist ∀g∈G:g⋅x=g-1xg∈N, da N Normalteiler!)

Die Bahnengleichung in diesem Zusammenhang liefert: p=∣N∣=∑x∈V∣Gx∣=∑x∈V[G:Gx], wobei V eben ein Vertretersystem für die Konjugation sein möge.

Vor allem fällt also auf: p=∑x∈V[G:Gx] gilt, wobei für alle x∈V der Index [G:Gx] ein Teiler von ∣G∣ ist. Als Teiler bleiben offenbar ja nur 1 oder p (die Summe soll ja p ergeben, den KLEINSTEN Primteiler von ∣G∣).

1. Fall: Für alle x∈V gilt [G:Gx]=1, d.h. für alle Elemente x des Vertretersystems gilt für alle g∈G: g-1xg=x⇔xg=gx. Allso gilt V⊆Z(G) (Zentrum von G).
Da V⊆N gilt und ∣V∣=p=∣N∣, muss also N=V⊆Z(G) gelten. Das war ja zu zeigen.

2. Fall: Es gibt ein x∈V, sodass [G:Gx]=p gilt. Dann kann wegen der Bahnengleichung nur V={x} sein, d.h. alle Elemente von N sind konjugiert.
Es bleibt zu zeigen, dass das nicht geht!
Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die einfachste, ist wohl folgende: Sicher ist x∈V nicht das neutrale Element e. Denn für alle g∈G gilt: g-1eg=e, d.h. ∣Ge∣=1≠p.
Es kann aber demnach auch kein g∈G geben mit g-1xg=e, weil sonst xg=ge=g⇒x=e, was wir ja oben ausgeschlossen haben.

Also kann nur der Fall 1 eintreten, aus dem ja die Behauptung folgt.

Noch eine Ergänzung zu deiner Aussage, dass aus der Normalteilereigenschaft gN=Ng die Behauptung folgen würde.
Die Gleichung gN=Ng ist NICHT elementweise gedacht. Es ist also nicht(!) gemeint gn=ng∀n∈N. Das ist spezieller.

Mfg Michael
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