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Primzahlzwillinge, Teilbarkeitseigenschaft

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Tags: Primzahl, Teilbarkeit

 
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Clemensum

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21:17 Uhr, 17.04.2011

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Seien p,p+2 Primzahlzwillinge. Z.z.: ∀p∈ℙ>3:12∣(p+(p+2))

Beweis:
Seien p,p+2 Primzahlenzwillinge. Angenommen, 12 würde deren Summe nicht teilen. Daraus würde folgen: (3 teilt nicht Summe) oder (4 teilt nicht Summe) .
Wenn 3 die Summe nicht teilt, also 3 teilt nicht 2p+2, dann kann p offensichtlich nur von der Gestalt p=3l (mit l∈ℤ ) sein, Widerspruch zur Voraussetzung.
Würde 4 2p+2 nicht teilen teilen, so wäre das nur dann stets erfüllt, wenn p=2l ist, Widerspruch.

Meine Frage an euch ist nun, wie ich den Beweis direkt machen könnte. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich die Voraussetzung der Primzahlzwillinge in den Ausdruch (p+(p+2)) einbauen könnte...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Clemensum

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22:51 Uhr, 17.04.2011

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Direkte Beweisidee:
Eine Zahl k∈ℤ hat (stets) folgende Moduln (wie man sich leicht davon überzeugen kann):
l≡0,1,2,3,4,5(6).
Eine Primzahl muss offensichtlich von der Gestalt l≡±1(6) sein (da sonst entweder von eins verschiedene Vielfachen von 2,3 vorkämen, was ein Widerspruch zur Primzahleigenschaft wäre) D.h. jedes (Primzahlen-)Paar hat die Form (k=6l+1,k+2=6l-1). Bildet man die Summe, so erkennt man die Behauptung! q.e.d.
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