 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Primzahlzwillinge und Primzahlen
Primzahlzwillinge und Primzahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: Primzahl, Primzahlzwillinge
 
|
  |
|---|
|
Hallo liebe Community, bekannt sind folgende Tatsachen : Für alle Primzahlen (außer und ) ist Daraus folgt, dass für alle Primzahlzwillinge (bis auf ) gilt : Jetzt untersuche ich, ob zu einem gegebenen geraden für alle Primzahlzwillinge (bis auf die ) zusammengesetzt ist. Anscheinend trifft das zu auf alle mit Ist dieses Ergebnis schon bekannt? Hier eine Tabelle zum Veranschaulichen : Anmerkung : Der besseren Lesbarkeit halber habe ich prim und nicht-prim vertauscht. (Für und ist die Sachlage trivial; da sind es eben alle Primzahlzwillinge, die prim sind) 0 : 3 5 11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 179 191 197 227 239 2 : 3 5 11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 179 191 197 227 239 4 : 3 (denn der einzige Doppelzwilling ist 3,5,7) 6 : 5 11 17 41 101 107 191 227 8 : 3 5 11 29 59 71 101 149 191 10 : 3 12 : 5 11 17 29 41 59 71 101 137 179 227 239 14 : 3 5 17 29 59 137 149 179 197 227 16 : 3 18 : 5 11 29 41 71 149 179 239 20 : 3 11 17 41 59 107 137 179 191 22 : 24 : 5 17 29 59 107 149 227 26 : 3 5 11 17 41 71 101 137 197 28 : 3 30 : 11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 197 227 32 : 5 11 29 41 71 107 149 179 191 197 34 : 3 36 : 5 11 17 71 101 137 191 197 38 : 3 5 29 41 59 71 101 191 40 : 3 42 : 5 11 17 29 41 59 71 107 137 149 191 197 44 : 3 17 29 59 107 137 149 179 197 46 : Gruß Sukomaki Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
> Ist dieses Ergebnis schon bekannt? Das hat sicher noch keiner mitgekriegt, dass für Primzahlzwillinge mit sowie ein mit die Zahl immer durch 3 teilbar ist. ;-) |
 |
|
Deinen Sarkasmus mal außen vorgelassen, stimmt es schon : Das ist wirklich einfach. Ich habe mal wieder zu kompliziert gedacht. Dabei ist ja offensichtlich, dass und folgt ist gleich drei und damit immer durch drei teilbar. Wozu brauche ich das? Nun, ich arbeite gerade an einer neuen Sichtweise auf die Primfaktorzerlegung und da ist dieser Zusammenhang vorgekommen. |
|
|
|
Naja, ich habe dieses "Ist dieses Ergebnis schon bekannt?" schon öfter in Foren gelesen von Leuten, die für irgendwelche Trivialitäten Ruhm als Entdecker beanspruchten - seither reagiere ich auf sowas mit Sarkasmus. Bei dir war es zugegeben noch nicht derart anmaßend formuliert. ----------------------------------------------- Was man auch betrachten kann sind arithmetische Progressionen mit durchgehend Primzahlen, außerdem sei die kleinste Primzahl ist, die nicht teilt. Klar ist z.B., dass das im Fall allenfalls für Progressionslänge funktionieren kann: Denn durchläuft sonst alle Restklassen modulo , speziell auch Restklasse 0. Beispiele: 1) Bei mit dann gehen für allenfalls , also die normalen Primzahlzwillinge - bei Hinzunahme von ist eine der drei Zahlen durch 3 teilbar und damit keine Primzahl. 2) Bei mit dann gibt es für dann schon Primzahl-Vierlinge , z.B. für - gewiss aber bei Hinzunahme von keine solchen Fünflinge. Man muss also schon sehr groß wählen (als Produkt der ersten paar Primzahlen) um überhaupt die Chance auf einigermaßen lange Progressionen zu haben. Das kann bei quadratischen Progressionen schon ganz anders aussehen: Berühmtes Beispiel ist , was für sämtlich Primzahlen liefert, insgesamt stolze 40. Und auch für bekommt man nur Zahlen mit Primfaktoren sämtlich geliefert, darunter auch weiterhin viele Primzahlen. Auch beides interessant, ohne dass ich eine Entdeckerschaft dafür beanspruchen würde. ;-) |
|
|
|
Die Erkenntnis, dass die Progressionslänge durch beschränkt ist, scheint mir von gewisser Relevanz zu sein. Die quadratische Progression ist in der Tat interresant. Hast Du Dich schon mal mit Bateman-Horn beschäftigt? Zu dem Thema "stimmt für einige Werte überein" möchte ich etwas beitragen : Die Feigenbaum-Konstante, die eine Rolle in der Chaos-Theorie, genauer der Bifurkationstheorie spielt und auch in der Natur vorkommt, beträgt Zufälligerweise ist das nicht allzu weit entfernt von , was den Wert hat. Jedoch fällt das ehrlich gesagt wohl in die Kategorie . Aber es liegt ja in der Natur des Menschen, Muster im Chaos zu finden. |
|
|
|
Die Folge war übrigens in gewisser Weise Thema der 6.IMO-Aufgabe 1987 ( Download: www.imo-official.org/problems.aspx ) : Es sei eine natürliche Zahl . Man beweise: Wenn für alle ganzen Zahlen mit eine Primzahl ist, dann ist sogar für alle ganzen Zahlen mit eine Primzahl. Anmerkung; Tatsächlich erfüllen wohl nur die Voraussetzung dieses Satzes - aber nachzuweisen, dass es keine weiteren gibt, ist wohl schwerer als die Lösung obiger IMO-Aufgabe. ;-) Immerhin finde ich es faszinierend, dass auf angewandt nur für die Zahlen die Primzahleigenschaft von geprüft werden muss, und der "Rest" dann gemäß obiger Aussage folgt. Eine graphische Veranschaulichung solcher quadratischen Progressionen sind ja die deutlich erkennbaren Linien in der de.wikipedia.org/wiki/Ulam-Spirale : Beiliegend eine solche, die im Mittelpixel nicht mit 1, sondern mit 41 startet: Die mit Primzahlen übersäte Diagonale von links unten nach rechts oben ist unverkennbar. ;-)  |
|
|
|
1. Würde mich interessieren wie dieser Beweis aussieht. Bitte nur einen Hint, damit ich noch etwas zum Grübeln habe. 2. Hast Du Dich schon mal mit Bateman-Horn beschäftigt? Ich frage das, weil es da ja auch um Primzahleigenschaften von Polynomen geht. 3. Was hältst Du von der Ähnlichkeit zwischen Feigenbaum-Konstante und dem Integral über ? |
|
|
|
Bei 1) meinst du die IMO-Aufgabe, oder? Für betrachte man das kleinste , für das nicht prim ist. Wegen ist auf jeden Fall . Unter Nutzung der Tatsache, dass in diesem Setup alle mit prim sind, versucht man nun nachzuweisen. Hilfreich dabei ist die Betrachtung des kleinsten Primfaktor von sowie die Faktorisierung der Differenz . An irgend einer Stelle wird man dabei natürlich auch Voraussetzung einfließen lassen müssen. Ich verrate weiterhin, dass dabei die Betrachtung der folgenden drei Fälle für ganz nützlich ist: , sowie . Zu 2) Nein. Zu 3) Gar nichts. "Ungefähre" Übereinstimmungen gibt es wie Sand am Meer. Ich hatte mal in einem anderen Forum jemanden, der für die Primzahlfolge die Vermutung geäußert hat. Die konnte dann numerisch entkräftet werden durch das Berechnen der Partialsumme . Im letzten Summanden dieser Partialsumme wurden und benötigt, also schon ganz ordentlich große Primzahlen. Die Reihe ist übrigens tatsächlich konvergent, aber eben mit Reihenwert (wenn auch nicht viel drüber). |
|
|
|
Wurden die recht großen Primzahlen wie mit Python berechnet? Um ein Sieb zu benutzen dürfte der Arbeitsspeicher zu klein sein. Die -ten Primzahlen sind ja Daher sind die Primzahlen mit den Primzahlen als Index Wie berechnet man das für zwölfstellige Zahlen schnell? Über den IMO-Beweis denke ich noch nach. |
|
|
|
Nein C++, und Sieb-Speicherung auf Festplatte mit 1 Bit pro ungerader Zahl. Das sind weniger als 9 GByte, was mit heutigem Arbeitsspeicher auf gängigen 64Bit-Systemen durchaus beherrschbar ist - man muss bedenken, dass die genannte Berechnung allerdings auch schon vor 17 Jahren (!) stattfand, wo an 16 GByte RAM auf normalen PC noch nicht zu denken war. ;-) |
|
|
|
Abgefahren. |
|
|
|
> Wie berechnet man das für zwölfstellige Zahlen schnell? In einem ersten Schritt berechnet man das Eratosthenes-Sieb als Bitmuster (wie gesagt, passt in 9 GByte). Im zweiten Schritt berechnet man die Partialsumme. Dazu hat man gewissermaßen zwei Filepointer: Der erste für hangelt sich im Bitmuster von einer Primzahl (Einsen im Bitmuster) zur nächsten Primzahl und merkt sich dabei den Abstand. Denn der wiederum bestimmt, wieviele Einsen der zweite für überspringen muss, um zu zu gelangen. Heutzutage könnte man das natürlich im RAM erledigen. |
|
|
|
Yo krass, macht Sinn :-D) |
|
|
|
Als Inspiration für den Beweis diskutiere ich kurz mal noch ein , wo die Voraussetzung relativ knapp nicht erfüllt ist: Bei haben wir , schauen wir uns die ersten paar an: ist prim, ist prim, ist prim, ist prim, , d.h. es ist (zu klein - laut Voraussetzung muss sein) sowie kleinster Primfaktor von ist . Dass der kleinste Primfaktor der ersten Nicht-Primzahl in der Folge mit 11 schon relativ groß ist, ist kein Zufall, sondern durchaus typisch... |
|
|
|
Wenn Deine Berechnung schon 17 Jahre alt ist, warum kennst Du dann noch die genauen Werte? Hast Du in der Foren-Historie geblättert? Ich habe nach gegoogelt und nichts gefunden. Könnte es nicht sein, dass der Wert größer eins durch Rundungsfehler zustande gekommen ist? Du kennst Dich da sicher besser aus als ich. Aber Du schreibst ja, die Reihe konvergiert. Also hast Du Dich wohl intensiv mit ihr beschäftigt. |
|
|
|
> Hast Du in der Foren-Historie geblättert? So ist es: www.matheboard.de/thread.php?postid=566569#post566569 > Könnte es nicht sein, dass der Wert größer eins durch Rundungsfehler zustande gekommen ist? Nein. Sicher gibt es Rundungsfehler, aber die sind um Größenordnungen niedriger als der Wert, um den diese numerisch ermittelte Summe größer als 1 ist. |
|
|
|
Hallo HAL9000, Deine Tipps (Fallunterscheidung, Faktorisierung von ) helfen mir leider nicht wirklich weiter. Vor allem das wenig sagende > An irgend einer Stelle wird man dabei natürlich auch Voraussetzung > einfließen lassen müssen. hätte ich mir ja fast schon denken können. Na ja, wie auch immer. Hier ist, was ich bis jetzt herausgefunden habe : Die Faktorisierung von , nämlich sagt - obwohl Irreduzibilität über vorliegt - nichts darüber aus, ob zusammengesetzt ist. wobei prim ist. Ich werde wohl noch ein, zwei Tage über dem Beweis brüten, bevor ich aufgebe. Ich warte ja immer noch auf den Geistesblitz. :-) |
|
|
|
Wenn es dich tröstet: Es war die schwerste Aufgabe dieser IMO. Laut www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=1987 erzielten die Teilnehmer bei dieser Aufgabe durchschnittlich 1,8 von 7 Punkten, nur 37 von 237 Teilnehmern konnten sie komplett lösen. Und das ist ein Schülerwettbewerb, d.h., der Beweis ist elementar mit Basiskenntnissen zur Teilbarkeit möglich. |
|
|
|
Das tröstet mich nur bedingt. Ich bin ja der Meinung, dass ich mit meinem Vordiplom im Nebenfach Mathematik in der Lage sein sollte, eine Schüleraufgabe komplett zu lösen. Insbesondere wenn nur elementare Basiskenntnisse zur Teilbarkeit nötig sind. Wahrscheinlich denke ich mal wieder zu kompliziert. Immerhin konnten etwa 16% der Teilnehmer sie erfolgreich absolvieren. |
|
|
|
> Ich bin ja der Meinung, dass ich mit meinem Vordiplom im Nebenfach Mathematik in der Lage sein sollte, eine Schüleraufgabe komplett zu lösen Soso. Wieviel Leute in Deutschland machen jährlich das Vordiplom im Nebenfach Mathematik - und wieviel fahren zur IMO? Zumindest die letzte Frage kann ich beantworten: 6 |
|
|
|
Es fahren also 6 Schüler/-innen zur IMO. Woher weißt Du das? |
|
|
|
Ich weiß nicht, woher HAL9000 das weiß. Eine Möglichkeit ist, weil er in der Lage ist, diese Information im Internet zu finden ("Jedes teilnehmende Land schickt eine Delegation aus sechs Schülerinnen und Schülern zur IMO."). |
|
|
|
Außerdem: Mathematikolympiadeaufgaben (insbesondere dann auch auf der höchsten Stufe IMO) mögen mit Schulwissen lösbar sein - was noch lange nicht heißt, dass sie mit Hochschulwissen dann plötzlich einfach zu lösen sind. Dieser Art sind diese Aufgaben nicht - merkst du ja an dieser Aufgabe selbst. |
1591029
1590972