 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Primzahlzwillinge und Primzahlen
Primzahlzwillinge und Primzahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: Primzahl, Primzahlzwillinge
 
|
  |
|---|
|
Hallo liebe Community, bekannt sind folgende Tatsachen : Für alle Primzahlen (außer und ) ist Daraus folgt, dass für alle Primzahlzwillinge (bis auf ) gilt : Jetzt untersuche ich, ob zu einem gegebenen geraden für alle Primzahlzwillinge (bis auf die ) zusammengesetzt ist. Anscheinend trifft das zu auf alle mit Ist dieses Ergebnis schon bekannt? Hier eine Tabelle zum Veranschaulichen : Anmerkung : Der besseren Lesbarkeit halber habe ich prim und nicht-prim vertauscht. (Für und ist die Sachlage trivial; da sind es eben alle Primzahlzwillinge, die prim sind) 0 : 3 5 11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 179 191 197 227 239 2 : 3 5 11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 179 191 197 227 239 4 : 3 (denn der einzige Doppelzwilling ist 3,5,7) 6 : 5 11 17 41 101 107 191 227 8 : 3 5 11 29 59 71 101 149 191 10 : 3 12 : 5 11 17 29 41 59 71 101 137 179 227 239 14 : 3 5 17 29 59 137 149 179 197 227 16 : 3 18 : 5 11 29 41 71 149 179 239 20 : 3 11 17 41 59 107 137 179 191 22 : 24 : 5 17 29 59 107 149 227 26 : 3 5 11 17 41 71 101 137 197 28 : 3 30 : 11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 197 227 32 : 5 11 29 41 71 107 149 179 191 197 34 : 3 36 : 5 11 17 71 101 137 191 197 38 : 3 5 29 41 59 71 101 191 40 : 3 42 : 5 11 17 29 41 59 71 107 137 149 191 197 44 : 3 17 29 59 107 137 149 179 197 46 : Gruß Sukomaki Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
> Ist dieses Ergebnis schon bekannt? Das hat sicher noch keiner mitgekriegt, dass für Primzahlzwillinge mit sowie ein mit die Zahl immer durch 3 teilbar ist. ;-) |
 |
|
Deinen Sarkasmus mal außen vorgelassen, stimmt es schon : Das ist wirklich einfach. Ich habe mal wieder zu kompliziert gedacht. Dabei ist ja offensichtlich, dass und folgt ist gleich drei und damit immer durch drei teilbar. Wozu brauche ich das? Nun, ich arbeite gerade an einer neuen Sichtweise auf die Primfaktorzerlegung und da ist dieser Zusammenhang vorgekommen. |
|
|
|
Naja, ich habe dieses "Ist dieses Ergebnis schon bekannt?" schon öfter in Foren gelesen von Leuten, die für irgendwelche Trivialitäten Ruhm als Entdecker beanspruchten - seither reagiere ich auf sowas mit Sarkasmus. Bei dir war es zugegeben noch nicht derart anmaßend formuliert. ----------------------------------------------- Was man auch betrachten kann sind arithmetische Progressionen mit durchgehend Primzahlen, außerdem sei die kleinste Primzahl ist, die nicht teilt. Klar ist z.B., dass das im Fall allenfalls für Progressionslänge funktionieren kann: Denn durchläuft sonst alle Restklassen modulo , speziell auch Restklasse 0. Beispiele: 1) Bei mit dann gehen für allenfalls , also die normalen Primzahlzwillinge - bei Hinzunahme von ist eine der drei Zahlen durch 3 teilbar und damit keine Primzahl. 2) Bei mit dann gibt es für dann schon Primzahl-Vierlinge , z.B. für - gewiss aber bei Hinzunahme von keine solchen Fünflinge. Man muss also schon sehr groß wählen (als Produkt der ersten paar Primzahlen) um überhaupt die Chance auf einigermaßen lange Progressionen zu haben. Das kann bei quadratischen Progressionen schon ganz anders aussehen: Berühmtes Beispiel ist , was für sämtlich Primzahlen liefert, insgesamt stolze 40. Und auch für bekommt man nur Zahlen mit Primfaktoren sämtlich geliefert, darunter auch weiterhin viele Primzahlen. Auch beides interessant, ohne dass ich eine Entdeckerschaft dafür beanspruchen würde. ;-) |
|
|
|
Die Erkenntnis, dass die Progressionslänge durch beschränkt ist, scheint mir von gewisser Relevanz zu sein. Die quadratische Progression ist in der Tat interresant. Hast Du Dich schon mal mit Bateman-Horn beschäftigt? Zu dem Thema "stimmt für einige Werte überein" möchte ich etwas beitragen : Die Feigenbaum-Konstante, die eine Rolle in der Chaos-Theorie, genauer der Bifurkationstheorie spielt und auch in der Natur vorkommt, beträgt Zufälligerweise ist das nicht allzu weit entfernt von , was den Wert hat. Jedoch fällt das ehrlich gesagt wohl in die Kategorie . Aber es liegt ja in der Natur des Menschen, Muster im Chaos zu finden. |
|
|
|
Die Folge war übrigens in gewisser Weise Thema der 6.IMO-Aufgabe 1987 ( Download: www.imo-official.org/problems.aspx ) : Es sei eine natürliche Zahl . Man beweise: Wenn für alle ganzen Zahlen mit eine Primzahl ist, dann ist sogar für alle ganzen Zahlen mit eine Primzahl. Anmerkung; Tatsächlich erfüllen wohl nur die Voraussetzung dieses Satzes - aber nachzuweisen, dass es keine weiteren gibt, ist wohl schwerer als die Lösung obiger IMO-Aufgabe. ;-) Immerhin finde ich es faszinierend, dass auf angewandt nur für die Zahlen die Primzahleigenschaft von geprüft werden muss, und der "Rest" dann gemäß obiger Aussage folgt. Eine graphische Veranschaulichung solcher quadratischen Progressionen sind ja die deutlich erkennbaren Linien in der de.wikipedia.org/wiki/Ulam-Spirale : Beiliegend eine solche, die im Mittelpixel nicht mit 1, sondern mit 41 startet: Die mit Primzahlen übersäte Diagonale von links unten nach rechts oben ist unverkennbar. ;-)  |
|
|
|
1. Würde mich interessieren wie dieser Beweis aussieht. Bitte nur einen Hint, damit ich noch etwas zum Grübeln habe. 2. Hast Du Dich schon mal mit Bateman-Horn beschäftigt? Ich frage das, weil es da ja auch um Primzahleigenschaften von Polynomen geht. 3. Was hältst Du von der Ähnlichkeit zwischen Feigenbaum-Konstante und dem Integral über ? |
|
|
|
Bei 1) meinst du die IMO-Aufgabe, oder? Für betrachte man das kleinste , für das nicht prim ist. Wegen ist auf jeden Fall . Unter Nutzung der Tatsache, dass in diesem Setup alle mit prim sind, versucht man nun nachzuweisen. Hilfreich dabei ist die Betrachtung des kleinsten Primfaktor von sowie die Faktorisierung der Differenz . An irgend einer Stelle wird man dabei natürlich auch Voraussetzung einfließen lassen müssen. Ich verrate weiterhin, dass dabei die Betrachtung der folgenden drei Fälle für ganz nützlich ist: , sowie . Zu 2) Nein. Zu 3) Gar nichts. "Ungefähre" Übereinstimmungen gibt es wie Sand am Meer. Ich hatte mal in einem anderen Forum jemanden, der für die Primzahlfolge die Vermutung geäußert hat. Die konnte dann numerisch entkräftet werden durch das Berechnen der Partialsumme . Im letzten Summanden dieser Partialsumme wurden und benötigt, also schon ganz ordentlich große Primzahlen. Die Reihe ist übrigens tatsächlich konvergent, aber eben mit Reihenwert (wenn auch nicht viel drüber). |
|
|
|
Wurden die recht großen Primzahlen wie mit Python berechnet? Um ein Sieb zu benutzen dürfte der Arbeitsspeicher zu klein sein. Die -ten Primzahlen sind ja Daher sind die Primzahlen mit den Primzahlen als Index Wie berechnet man das für zwölfstellige Zahlen schnell? Über den IMO-Beweis denke ich noch nach. |
|
|
|
Nein C++, und Sieb-Speicherung auf Festplatte mit 1 Bit pro ungerader Zahl. Das sind weniger als 9 GByte, was mit heutigem Arbeitsspeicher auf gängigen 64Bit-Systemen durchaus beherrschbar ist - man muss bedenken, dass die genannte Berechnung allerdings auch schon vor 17 Jahren (!) stattfand, wo an 16 GByte RAM auf normalen PC noch nicht zu denken war. ;-) |
|
|
|
Abgefahren. |
|
|
|
> Wie berechnet man das für zwölfstellige Zahlen schnell? In einem ersten Schritt berechnet man das Eratosthenes-Sieb als Bitmuster (wie gesagt, passt in 9 GByte). Im zweiten Schritt berechnet man die Partialsumme. Dazu hat man gewissermaßen zwei Filepointer: Der erste für hangelt sich im Bitmuster von einer Primzahl (Einsen im Bitmuster) zur nächsten Primzahl und merkt sich dabei den Abstand. Denn der wiederum bestimmt, wieviele Einsen der zweite für überspringen muss, um zu zu gelangen. Heutzutage könnte man das natürlich im RAM erledigen. |
|
|
|
Yo krass, macht Sinn :-D) |
|
|
|
Als Inspiration für den Beweis diskutiere ich kurz mal noch ein , wo die Voraussetzung relativ knapp nicht erfüllt ist: Bei haben wir , schauen wir uns die ersten paar an: ist prim, ist prim, ist prim, ist prim, , d.h. es ist (zu klein - laut Voraussetzung muss sein) sowie kleinster Primfaktor von ist . Dass der kleinste Primfaktor der ersten Nicht-Primzahl in der Folge mit 11 schon relativ groß ist, ist kein Zufall, sondern durchaus typisch... |
|
|
|
Wenn Deine Berechnung schon 17 Jahre alt ist, warum kennst Du dann noch die genauen Werte? Hast Du in der Foren-Historie geblättert? Ich habe nach gegoogelt und nichts gefunden. Könnte es nicht sein, dass der Wert größer eins durch Rundungsfehler zustande gekommen ist? Du kennst Dich da sicher besser aus als ich. Aber Du schreibst ja, die Reihe konvergiert. Also hast Du Dich wohl intensiv mit ihr beschäftigt. |
|
|
|
> Hast Du in der Foren-Historie geblättert? So ist es: www.matheboard.de/thread.php?postid=566569#post566569 > Könnte es nicht sein, dass der Wert größer eins durch Rundungsfehler zustande gekommen ist? Nein. Sicher gibt es Rundungsfehler, aber die sind um Größenordnungen niedriger als der Wert, um den diese numerisch ermittelte Summe größer als 1 ist. |
|
|
|
Hallo HAL9000, Deine Tipps (Fallunterscheidung, Faktorisierung von ) helfen mir leider nicht wirklich weiter. Vor allem das wenig sagende > An irgend einer Stelle wird man dabei natürlich auch Voraussetzung > einfließen lassen müssen. hätte ich mir ja fast schon denken können. Na ja, wie auch immer. Hier ist, was ich bis jetzt herausgefunden habe : Die Faktorisierung von , nämlich sagt - obwohl Irreduzibilität über vorliegt - nichts darüber aus, ob zusammengesetzt ist. wobei prim ist. Ich werde wohl noch ein, zwei Tage über dem Beweis brüten, bevor ich aufgebe. Ich warte ja immer noch auf den Geistesblitz. :-) |
|
|
|
Wenn es dich tröstet: Es war die schwerste Aufgabe dieser IMO. Laut www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=1987 erzielten die Teilnehmer bei dieser Aufgabe durchschnittlich 1,8 von 7 Punkten, nur 37 von 237 Teilnehmern konnten sie komplett lösen. Und das ist ein Schülerwettbewerb, d.h., der Beweis ist elementar mit Basiskenntnissen zur Teilbarkeit möglich. |
|
|
|
Das tröstet mich nur bedingt. Ich bin ja der Meinung, dass ich mit meinem Vordiplom im Nebenfach Mathematik in der Lage sein sollte, eine Schüleraufgabe komplett zu lösen. Insbesondere wenn nur elementare Basiskenntnisse zur Teilbarkeit nötig sind. Wahrscheinlich denke ich mal wieder zu kompliziert. Immerhin konnten etwa 16% der Teilnehmer sie erfolgreich absolvieren. |
|
|
|
> Ich bin ja der Meinung, dass ich mit meinem Vordiplom im Nebenfach Mathematik in der Lage sein sollte, eine Schüleraufgabe komplett zu lösen Soso. Wieviel Leute in Deutschland machen jährlich das Vordiplom im Nebenfach Mathematik - und wieviel fahren zur IMO? Zumindest die letzte Frage kann ich beantworten: 6 |
|
|
|
Es fahren also 6 Schüler/-innen zur IMO. Woher weißt Du das? |
|
|
|
Ich weiß nicht, woher HAL9000 das weiß. Eine Möglichkeit ist, weil er in der Lage ist, diese Information im Internet zu finden ("Jedes teilnehmende Land schickt eine Delegation aus sechs Schülerinnen und Schülern zur IMO."). |
|
|
|
Außerdem: Mathematikolympiadeaufgaben (insbesondere dann auch auf der höchsten Stufe IMO) mögen mit Schulwissen lösbar sein - was noch lange nicht heißt, dass sie mit Hochschulwissen dann plötzlich einfach zu lösen sind. Dieser Art sind diese Aufgaben nicht - merkst du ja an dieser Aufgabe selbst. Übrigens: Du hattest explizit gebeten "Bitte nur einen Hint, damit ich noch etwas zum Grübeln habe", und dann hatte ich sogar schon die wesentlichen Grundbausteine der Lösung genannt - trotzdem als Reaktion dein überhebliches, ja verächtliches Rumgemaule "Vor allem das wenig sagende ... hätte ich mir ja fast schon denken können". |
|
|
|
Ich bitte um Entschuldigung dafür. Da habe ich wohl unnötigerweise über die Stränge geschlagen. Ich nehme an, dass da der Frust aus mir gesprochen hat, dass ich die Lösung trotz Deiner Tipps nicht hinbekommen habe :-( |
|
|
|
Ich könnte ja mal einen der drei erwähnten Fälle besprechen, z.B. - damit deine Seele Ruhe findet. ;-) |
|
|
|
Nee, noch nicht, ich habe ja noch das ganze Wochenende Zeit, weiter zu kommen. :-) Außer heute abend, da läuft der ESC, den werde ich verfolgen. Ich bin zwar manchmal langsamer als andere und denke oft zu kompliziert. Aber nicht selten komme ich dann doch auf das richtige Ergebnis. |
|
|
|
Ich habe mal ein Python-Programm geschrieben und da ist mir folgendes aufgefallen : 1. und scheinen tatsächlich die einzigen Zahlen zu sein, die die diskutierte Eigenschaft haben. 2. Wenn für gilt prim, dann ist ansonsten . Der Fall scheint nicht aufzutreten. Ansonsten grübel ich noch darüber, warum ausgerechnet die Grenze ist. Da kreisen meine Gedanken. Ich meine es ist ja schon beeindruckend, warum z.B. für nur zwei prim ausreichen , damit acht weitere Primzahlen kommen. Ich dachte zuerst an vollständige Induktion. Das habe ich aber schnell wieder verworfen, weil ja die Folge von Primzahlen spätestens bei endet. Auch einen Widerspruchsbeweis möchte ich ausschließen. Nicht zu Unrecht ist dieses Problem "berühmt", wie Du geschrieben hast. |
|
|
|
> Ansonsten grübel ich noch darüber, warum ausgerechnet die Grenze ist. Da kreisen meine Gedanken. Es sagt keiner, dass das genau die Grenze ist. Die Bedingung (oder äquivalent umgeformt ) ist lediglich hinreichend dafür, dass man für den kleinsten Primfaktor von ausschließen kann - warum? > 2,3,5,11,17 und 41 scheinen tatsächlich die einzigen Zahlen zu sein, die die diskutierte Eigenschaft haben. Ja, und es sieht in mehrerer Hinsicht schlecht aus, dass man noch weitere findet: Zum einen liegen die Primzahlen für wachsendes immer dünner. Zum anderen benötigen wir bei wachsendem immer längere Sequenzen an Primzahlen, um der Voraussetzung zu genügen. Bei Primzahlzwillingen nimmmt man ja an, dass es unendlich viele gibt (wiewohl ein sauberer Beweis m.W. noch fehlt). Womöglich gibt es aber bereits einen Beweis, dass es nur endlich viele Tripel oder zumindest Quadrupel von Primzahlen gibt, am besten einen mit konkreter Abschätzung für das größte dieser Tripel oder Quadrupel. Den endlichen "Rest" könnte man dann systematisch abgrasen und hätte damit dann einen sauberen Beweis, dass 2,3,5,11,17,41 tatsächlich alle anwendbaren sind. |
|
|
|
ist der kleinste Primfaktor von . Somit . ist laut Voraussetzung nicht prim. oder auch Mit ist gleich . Daraus wiederum folgt . Richtig so? |
|
|
|
Ja, das ist die Idee. Alternativ argumentiert man indirekt (basierend auf derselben Abschätzung): Die Annahme führt zu , Widerspruch. Für wiederum kann man beweisen, dass es ein mit gibt, so dass , und damit dann auch durch teilbar ist. Da aber nach Konstruktion prim sein muss, kann das allenfalls für erfüllt sein! |
|
|
|
> so dass und damit dann auch durch teilbar ist. Genau, weil laut Voraussetzung Wenn ich also zeige, dass es ein solches gibt, bin ich fast fertig. Bleibt im Prinzip nur noch der Schritt . Eine Beziehung zwischen und kann ich aber gerade nicht herleiten. |
|
|
|
> Wenn ich also zeige, dass es ein solches gibt, bin ich fast fertig. Genau. Ich wiederhole nochmal: . (*) Nachdem sich als unmöglich erwiesen hat, bleiben nur noch zwei Fälle: Fall : Welches im Intervall sollte man wählen, so dass Term (*) sicher durch teilbar ist? Fall : Selbe Frage, nur mit anderer Antwort. ;-) > Eine Beziehung zwischen und kann ich aber gerade nicht herleiten. Doch, in einem der beiden Fälle bekommt man die. Der andere Fall erweist sich als unmöglich (also Widerspruch) - das hattest du oben schon mal festgestellt auf Basis des empirischen Zahlenmaterials, aber eben noch nicht beweiskräftig begründet. |
|
|
|
Einer der beiden Faktoren von ist . Jetzt folgt Es muss sein, also . Des weiteren muss sein, also . Insgesamt Ich melde mich wieder, wenn ich mehr weiß. |
|
|
|
Beiläufig erwähnt sei, dass die Schüler 4,5 Stunden Zeit hatten, und in der Zeit auch noch zwei weitere Aufgaben zu lösen hatten. Und das alles nur mit Gehirn, Stift und Papier - weder Taschenrechner, Bücher noch irgendwelche Kommunikation (von Internet war 1987 eh noch keine Rede) sind zugelassen. |
|
|
|
Die Bedingungen sind natürlich nicht vergleichbar. Ich bin einfach engagiert und motiviert die Lösung noch zu finden. Das erinnert mich an eine Begebenheit : da war ein Student, der war in einer Prüfung und Bücher waren erlaubt. Es war nur die Rede von einer Grenze bei 60kg. Also hat der Student einen kompetenten Kommilitonen mit in die Prüfung gebracht. Ich denke, er hat bestanden. Danach wurden die Auflagen expliziter formuliert. Ich hoffe ich habe die Begebenheit korrekt wiedergegeben. |
|
|
|
Die "Begebenheit" halte ich erstmal, so ohne Quelle, für eine Legende. Beiläufig sei erwähnt, dass einer der IMO-1987-Teilnehmer, der in allen Aufgaben die Höchstpunktzahl (7) erzielt hat, der frisch gewählte rumänische Präsident Nicușor Dan ist. 1988 hat er auch nochmal teilgenommen, mit gleichem Ergebnis. |
|
|
|
Interessanter Fakt! In der mathematischen Fachwelt ist allerdings ein anderer Teilnehmer von 1987 weit berühmter, ein gewisser Terence Tao ( de.wikipedia.org/wiki/Terence_Tao ). Auch er konnte diese schwierige Aufgabe nicht komplett lösen, hatte aber immerhin 5 von 7 Punkten ( www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=1581 ) erreicht. Dieses "Versagen" lässt sich vielleicht dadurch entschuldigen, dass er zum Zeitpunkt dieser IMO gerade mal knapp 12 Jahre alt war. :-D) ------------------------------------------------------ Acht Tage mit zahlreichen Hinweisen fast von Anfang an sind mehr als genug, und bevor mit den Anekdoten fortgefahren wird in aller gebotenen Kürze der Rest der Lösung: Im Fall kann man für die angestrebte Teilbarkeit wählen, denn da ist . Forderung heißt dann aber , also insbesondere , was im Widerspruch zu steht. Im Fall kann man hingegen wählen, hier ist . Wiederum heißt dann , umgeformt , was ja zu beweisen war. Anmerkung: Tatsächlich folgt zusammen mit dem von Anfang an klaren , dass dieser letztere Fall nur eintreten kann für die Konstellation , was letztendlich sowie bedeutet. |
|
|
|
Danke, da wäre ich tatsächlich wohl nicht drauf gekommen. Vielleicht schon. Aber ich will die Geduld der Helfer und Leser ja nicht überstrapazieren. Zumindest ist es mir ein kleiner Trost, dass Terence Tao - auch wenn er damals erst 12 Jahre alt war - nicht den ganzen Beweis hinbekommen hat. Und im Nachhinein hätte er sich als noch schwerer erweisen können. Jedenfalls kann ich ihn nachvollziehen. Wenigstens kann ich jetzt aufhören über das Problem nachzudenken was - neben dem wohl verständlichen Frust - mit einer gewissen Erleichterung verbunden ist. :-) |
|
|
|
Wenn man den Beweis rekapituliert, dann ist die entscheidende Idee, diese kleinste Nichtprimzahl der Folge und deren kleinsten Primfaktor zu betrachten. Denn dann führt via Faktorisierung sofort zur Behauptung, und der mögliche andere Fall wird durch die für den Leser zunächst sehr undurchsichtig erscheinende Forderung auf elegante Weise ausgeschlossen. So gesehen eigentlich einfach - wenn man drauf kommt (ich übrigens auch nicht, hab den Beweis auch irgendwo gelesen). Allerdings ist es oft so, dass man beweistechnisch mit diesen Prinzipien wie hier zweimal "kleinstes" Irgendwas starke Mittel an die Hand bekommt, die man dann natürlich zu nutzen wissen muss. Pech nur, dass es wohl kein gibt, welches der Voraussetzung genügt. So sieht die Aufgabe für sich genommen zwar sehr schön aus, bringt aber letztlich wohl wenig für die Suche nach weiteres quadratischen Primzahlprogressionen. |
|
|
|
Manchmal ist die Suche fruchtbarer als das Ergebnis. |
 |
|
Ich habe den Beweis noch einmal Revue passieren lassen und ihn sauber und vollständig aus dem Gedächtnis niedergeschrieben. Ich werde ihn in mein mathematisches Notizbuch übertragen, damit ich ihn nicht vergesse. Das wäre schade um das schöne Thema. Und : 1223 Besuche. Ich habe mich über diesen Rekord(?) sehr gefreut. Es fühlt sich gut an wenn soviel Interesse besteht. |
1591070
1590972