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Probe einer Wurzelgleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Probe, Quadrieren, Wurzel ziehen, Wurzelgleichung

TimRobin aktiv_icon

09:54 Uhr, 24.11.2018

Hallo.
I)
Ich habe eine Wurzelgleichung (siehe Bild) und möchte diese gerne lösen.
Meine Ergebnisse sind

x 1

und

x 2

. Wenn ich nun die Probe mache bekomme ich raus, dass

x 1

eine Lösung ist und

x 2

auch. Doch so wie ich mitbekommen habe sollte

x 1

eine Lösung sein,

x 2

aber nicht.
Wie kommt man darauf, dass

x 2

keine Lösung ist?

x 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}

x 2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}

II)
Zusätzlich habe ich noch eine Frage:
Darf man in der Probe nur Äquivalenzumformungen machen ?

Vielen Dank für Eure Hilfe.
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

09:58 Uhr, 24.11.2018

Berechne für

x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}

die linke und rechte Seite der Gleichung. Du wirst zwei verschiedene Werte erhalten.

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09:59 Uhr, 24.11.2018

Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung. Es können Scheinlösungen entstehen.
Man muss die Ergebisse daher überprüfen durch Einsetzen. :-)

TimRobin aktiv_icon

10:04 Uhr, 24.11.2018

Das habe ich bereits getan. Ohne Erfolg ..

: (

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10:04 Uhr, 24.11.2018

Das habe ich bereits getan. Ohne Erfolg ..

: (

Respon

10:07 Uhr, 24.11.2018

Hast du keinen TR ?
Links bekommt man

\approx 1,618

und rechts

\approx 0,3819

TimRobin aktiv_icon

10:07 Uhr, 24.11.2018

Danke für Eure antworten.

Dass quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, ist mir bekannt .. daher ja auch die Probe.

Nur frage ich mich, ob man in der Probe auch quadrieren und Wurzel ziehen darf weil da ja dann am Ende auch zusätzliche Lösungen entstehen können und rauskommen kann dass es wahr ist obwohl es eigentlich falsch ist. Oder irre ich mich da ?

TimRobin aktiv_icon

10:09 Uhr, 24.11.2018

Doch habe ich. Allerdings muss ich das von Hand lösen können. Im Kopf kommt man schlecht auf dieses Ergebnis. :-)

Respon

10:10 Uhr, 24.11.2018

Einfaches Gegenbeispiel:
Bei einer Probe bekommst du

- 5 = + 5

was ja offensichtlich falsch ist.
Du quadrierst

{(- 5)}^{2} = {(+ 5)}^{2}

25 = 25

Und schon passt es wieder.

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10:15 Uhr, 24.11.2018

Dh. bei der Probe darf ich ausschließlich Äquivalenzumformungen machen, hab ich das jetzt richtig verstanden?
Wenn ja, dann vielen Dank.
Dann wäre II) geklärt. :-)

TimRobin aktiv_icon

10:15 Uhr, 24.11.2018

Dh. bei der Probe darf ich ausschließlich Äquivalenzumformungen machen, hab ich das jetzt richtig verstanden?
Wenn ja, dann vielen Dank.
Dann wäre II) geklärt. :-)

Roman-22

15:52 Uhr, 24.11.2018

>

Nur frage ich mich, ob man in der Probe auch quadrieren

. .

. darf
Nein!

Sinnvoll ist es, die Probe so durchzuführen, dass du den zu überprüfenden Wert erst in den Linksterm der Angabegleichung einsetzt und dann in den Rechtterm. Kommt in beiden Fällen der gleicher Wert raus, so handelt es sich bei dem eingesetzten Wert um eine Lösung.
In deinem Fall kommt mit

x_{1} = \frac{1}{2} \cdot (3 + \sqrt{5})

auf beiden Seiten

\frac{1}{2} \cdot (3 + \sqrt{5})

(zufälligerweise ein Wert der gleich

x_{1}

ist) raus.

Für

x_{2} = \frac{1}{2} \cdot (3 - \sqrt{5})

gilt

L T (x_{2}) = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5}) \approx 1,618

R T (x_{2}) = \frac{1}{2} \cdot (3 - \sqrt{5}) \approx 0,382

Also zwei unterschiedliche Werte, daher ist

x_{2}

keine Lösung.

Nimm als vereinfachte Aufgabe nun die Gleichung

x = \sqrt{2 - x}

.
Diese führt zunächst auf

x_{1} = 1

und

x_{2} = - 2

.
Einsetzen von

x_{2}

führt sofort auf

- 2 = 2

und somit einer falschen Aussagen.
Wenn du aber rechnest

- 2 = \sqrt{2 - (- 2)}

- 2 = \sqrt{4} | {()}^{2}

4 = 4 \to w . A

.

so wäre bei dir

- 2

plötzlich doch Lösung.

TimRobin aktiv_icon

22:21 Uhr, 25.11.2018

Vielen vielen Dank für deine Antwort!
Sehr gut erklärt. :-) ich habe es verstanden.

Viele Grüße.

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