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Problem: Preis-Absatz- Aufgabe

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Sonstiges

Tags: Erlösfunktion, erlösmaximierender Preis, maximaler Erlös, Preis Absatz Funktion, Sonstiges

isladelaluna aktiv_icon

23:24 Uhr, 07.03.2011

Hallo!
Wäre euch super dankbar, wenn ihr mir helfen könntet:
Folgende Aufgabe:

Die Preis-Absatz-Funktion eines Unternehmens lautet

x = 4 - \frac{1}{2} p,

wobei

x

den Absatz und

p

den Preis repräsentiert.

Bestimmen Sie

a)

die Erlösfunktion der Unternehmung

b)

den erlösmaximierenden Preis

c)

den maximalen Erlös

Dankeeeee! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

23:40 Uhr, 07.03.2011

Die Preis-Absatz-Funktion, aufgelöst nach

p,

lautet:

p (x) = - 2 x + 8

Erlös=

p \cdot x

Und wenn das Unternehmen zu jedem Preis die exakt selbe Menge

x

anbiete, wie nachgefragt wird, die Angebotsfunktion also mit der Nachfragefunktion identisch ist, dann gilt:

Erlös=

E (x) = (- 2 x + 8) \cdot x = - 2 x^{2} + 8 x

Der Erlösmaximierende Preis liegt bei

. .

. dazu muss man erst die Menge

x

bestimmen, die den Erlös maximiert, also zuerst die Antwort auf

c)

mit Hilfe von:

E' (x) = 0

Das Ergebnis ist dann die Erlösmaximale Menge

x_{m a x},

der Preis ergibt sich aus der umgeformten Preis-Absatz-Funktion, also

p (x_{m a x}) = - 2 \cdot x_{m a x} + 8

isladelaluna aktiv_icon

13:31 Uhr, 08.03.2011

Toll danke für deine Bemühungen!
Jetzt habe ich aber eine Rückfrage:
Du hast als Ergebnis der Ableitung der Erlösfunktion E´=0
Wie kommst du darauf? Kannst du mir das nochmal ausführlich erklären?
Ich bekomme bei der Ableitung von

E = 8 x - 2 x^{2}

als Ergebnis E´=

8 - 4 x .

Danke nochmal

DmitriJakov aktiv_icon

13:57 Uhr, 08.03.2011

Moment, da hast Du etwas missverstanden. Du musst zur Ermittlung der gewinnmaximalen Menge die Lösung für

E' (x) = 0

finden.
Es ist richtig, dass

E' (x) = - 4 x + 8

lautet. Dies musst Du nun Null setzen, also:

E' (x) = - 4 x + 8 = 0 \to 4 x = 8 \to x = 2

Grund: Die Erlösfunktion

E (x) = - 2 x^{2} + 8 x

ist eine nach unten geöffnete Parabel. Sie erreicht also ihren größten y-Wert im Scheitelpunkt. In diesem Scheitelpunkt ist ihre Steigung gerade Null geworden, sie steigt also nicht mehr weiter. Aber sie ist auch noch nicht gesunken. Genau dort ist also das Maximum, also dort, wo ihre Steigung Null wird.

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