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Problem bei Übungsaufgabe

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

tompo7 aktiv_icon

16:08 Uhr, 18.04.2019

Servus Leute,

verstehe auf meinem Übungsblatt leider die Angabe nicht, vlt könnt ihr mir ja Helfen!

Aufgabe: Bestimmen Sie alle komplexen vierten Wurzeln von

- 1

.

Ist das wirklich so zu verstehen, dass man

4_{\sqrt{- 1}}

ziehen soll. Oder wie ist das zu verstehen, ich kann natürlich auch umschreiben auf

- 1^{\frac{1}{4}}

aber da komm ich leider so nicht weiter bzw. bin ich mir nicht sicher ob ichs richtig verstanden habe?

Bitte daher um Hilfe,Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:18 Uhr, 18.04.2019

Hallo
im komplexen hat jede nte Wurzel

n

verschiedene Werte,

- 1 = e^{i \cdot π + 2 k \cdot i \cdot π},

die Wurzel daraus nach den Potenzgesetzen für

k = 0

bis 3. dann zurückverwandeln, mit

e^{i \cdot r} = cos (r) + i \cdot sin (r)

Gruß ledum

abakus

16:26 Uhr, 18.04.2019

"Aufgabe: Bestimmen Sie alle komplexen vierten Wurzeln von −1. "

Damit ist gemeint: Bestimme alle komplexen Zahlen z, für die

z^{4} = - 1

(=1*(cos 180°+i*sin 180°)
gilt.

tompo7 aktiv_icon

11:31 Uhr, 19.04.2019

Vielen Dank für eure Antworten, mein Lösungsansatz!

z^{4} = - 1

4 \sqrt{- 1} = 4 \sqrt{| - 1 |} \cdot (cos (\frac{φ + 2 \cdot k \cdot π}{4}) + i \cdot cos (\frac{φ + 2 \cdot k \cdot π}{4})

Einsetzen der

k = {0,1,2,3,4}

k = 0 \to 4 \sqrt{- 1} = 4 \sqrt{| - 1 |} \cdot (cos (\frac{φ}{4}) + i \cdot cos (\frac{φ}{4})

(zur Vollständigkeit!)

k = 1 \to 4 \sqrt{| - 1 |} \cdot (cos (\frac{φ + 2 \cdot 1 \cdot π}{4}) + i \cdot cos (\frac{φ + 2 \cdot 1 \cdot π}{4})

k = 2 \to 4 \sqrt{| - 1 |} \cdot (cos (\frac{φ + 2 \cdot 2 \cdot π}{4}) + i \cdot cos (\frac{φ + 2 \cdot 2 \cdot π}{4})

k = 3 \to 4 \sqrt{| - 1 |} \cdot (cos (\frac{φ + 2 \cdot 3 \cdot π}{4}) + i \cdot cos (\frac{φ + 2 \cdot 3 \cdot π}{4})

k = 4 \to 4 \sqrt{| - 1 |} \cdot (cos (\frac{φ + 2 \cdot 4 \cdot π}{4}) + i \cdot cos (\frac{φ + 2 \cdot 4 \cdot π}{4})

Das wären somit alle Lösungen, eine Frage noch in der Formel hab ich geschrieben

4 \sqrt{| - 1 |}

normalerweise wird der Betrag doch über den Phythagoras

(\in

den Komplexen da ja Vektor!) berechnet, dann wäre

4 \sqrt{2},

hab ichs nun richtig formuliert oder hat sich ein Fehler eingeschlichen.

LG. Thomas

Matheboss aktiv_icon

11:50 Uhr, 19.04.2019

| - 1 | = 1

damit

\sqrt[4]{| - 1 |} = 1

au0erdem kann man noch vereinfachen,

z . B

. für

k = 0

... = 1 \cdot (cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4})) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot i

analog für

k = 1; 2; 3

k = 4

gibt keinen Sinn mehr (siehe ledum)

rundblick aktiv_icon

11:53 Uhr, 19.04.2019

z^{4} = - 1

\to

der

\to

Betrag von

- 1

ist schlicht immer

\to + 1

\to

das Argument (der Winkel) zur komplexen Zahl

- 1

ist

\to φ = π .

+ 2 k π

also ist

z^{4} = + 1 \cdot e^{(π + 2 k π) \cdot i} = cos (π + 2 k π) + i \cdot sin (π + 2 k π) ...

. für

k \in Z

\Rightarrow z = 1 \cdot e^{(\frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2}) \cdot i} = . .

.

schreibe jetzt die vier Lösungen (für

k = 0,1,2,3)

von

z^{4} = - 1

in der Form a+bi auf

\to .

.

Tipp:
mach mal eine Zeichnung dh trage die Punkte

z_{k}

und den EK

| z | = 1

in der GaussEbene ein;
siehst du, von welcher Figur die vier Lösungen die Eckpunkte sind ?

\to ...

. ?

.

tompo7 aktiv_icon

12:39 Uhr, 19.04.2019

So habs nun berechnet und verstanden!

z_{1} = cos (\frac{π}{4}) + i \cdot sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot i

z_{2} = cos (3 \cdot \frac{π}{4}) + i \cdot sin (3 \cdot \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot i

z_{3} = cos (5 \cdot \frac{π}{4}) + i \cdot sin (5 \cdot \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot i

z_{4} = cos (7 \cdot \frac{π}{4}) + i \cdot sin (7 \cdot \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot i

Der Grund warum man nun

k = 4

nicht berechnet ist, da dass Ergebnis dem von

k = 0

entspricht. Die geometrische Form entspricht eines Quadrats! Man hätte somit wieder den Punk

z_{1}

Danke Leute hat mir sehr geholfen.

LG. Thomas

rundblick aktiv_icon

12:48 Uhr, 19.04.2019

.
noch ein kleiner Tipp:
es wird weniger SchreibArbeit und übersichtlicher,
wenn du das

\frac{\sqrt{2}}{2}

jeweils ausklammerst

\to

z_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1 + i)

.
.
usw..

.

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