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Problem mit Lösungsweg (Grenzwert gegen Unendlich)

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Analysis, Grenzwert, lim, MATH

Chenua aktiv_icon

13:12 Uhr, 09.07.2020

Hallo zusammen :-)

ich bin auf Grund meiner bevorstehenden Klausur dabei mich in das Thema Grenzwertberechnung reinzufuchsen... bis jetzt kam ich auch recht gut klar, allerdings habe ich bei folgender Aufgabe das Problem, den letzten Schritt nicht nachvollziehen zu können..

Die Aufgabe an sich konnte ich bis zu diesem Punkt lösen:

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 - x^{2} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} + 2 x}}

Ich weiß durch die Musterlösung, dass das nächste Zwischenergebnis

\frac{0 - 2}{1 + 1}

sein sollte und die Lösung der gesamten Aufgabe

- 1

lautet - am weiteren Weg verzweifle ich aber leider... :-)

Wäre nett, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte. Mir reicht in dem Fall eine kurze Erklärung bzw. einen Hinweis darüber, was ich übersehe.
x/x² ausklammern oder nur die höchsten Exponenten betrachten habe ich bereits versucht, bringt mich aber leider auch nicht weiter. Denke, es gibt hier einen Kniff, den ich einfach noch nicht sehe :-)

Vielen Dank vorab!

Viele Grüße
Chenua

P . s . :

Habe kein Abitur und studiere dennoch Informatik - falls die Frage zu primitiv sein sollte, bitte ich um Nachsicht... :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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f (x)

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Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Respon

13:26 Uhr, 09.07.2020

Kürze Zähler und Nenner vor dem Grenzübergang durch

x

.

Und ich nehme an, die Originalaufgabe war

lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x},

was zur unbestimmten Form

\infty - \infty

führen würde.

supporter aktiv_icon

13:32 Uhr, 09.07.2020

Tipp:
Klammere im Nenner

x

aus vör dem Kürzen.
Das macht es vlt. leichter. :-)

Matheboss aktiv_icon

13:35 Uhr, 09.07.2020

Wenn Dein Zähler so stimmt, dann fällt doch

x^{2}

heraus.

... = \frac{3 - 2 \cdot x}{\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x}}

dannklammerst Du in den Wurzel

x^{2}

aus

= \frac{3 - 2 \cdot x}{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{3}{x^{2}}) + \sqrt{x^{2} (1 + \frac{2}{x})}}}

dann teilweise radizieren im Nenner und im Zähler

x

ausklammern

= \frac{x \cdot (\frac{3}{x} - 2)}{(x \cdot \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}} + x \cdot \sqrt{(1 + \frac{2}{x})})} = \frac{x \cdot (\frac{3}{x} - 2)}{x \cdot (\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}) + \sqrt{(1 + \frac{2}{x})}} =

mit

x

kürzen

dann

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - 2}{(\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}) + \sqrt{(1 + \frac{2}{x})}} = \frac{0 - 2}{1 + 1} = - 1

Chenua aktiv_icon

13:44 Uhr, 09.07.2020

ja genau, die Ursprungsaufgabe war korrekt :-)

Dann war mein Gedankengang mit dem

x

ausklammern doch korrekt, nur falsch ausgeführt... danach erhalte ich folgende Zwischenergebnisse:

\frac{x \cdot ((\frac{3}{x}) - 2)}{x \cdot \sqrt{x + (\frac{3}{x})} + x \cdot \sqrt{x + 2}}

\frac{x \cdot ((\frac{3}{x}) - 2)}{x \cdot (\sqrt{x + (\frac{3}{x})} + \sqrt{x + 2})}

wenn ich das

x

nun kürze, komme ich soweit:

\frac{(\frac{3}{x}) - 2}{\sqrt{x + (\frac{3}{x})} + \sqrt{x + 2}}

dass

(\frac{1}{x})

gegen 0 geht und somit oben

0 - 2

stehen, verstehe ich, nur unter dem Bruch gehts für mich nicht weiter...

Danke euch schonmal! :-)

Edit:
Die Nachricht von Matheboss kam wohl während dem Eintippen, ich probier direkt den Ansatz noch mal aus

Matheboss aktiv_icon

13:46 Uhr, 09.07.2020

Dein Radizieren ist falsch! Siehe bei mir oben!

Chenua aktiv_icon

14:01 Uhr, 09.07.2020

War beim Üben sogar auf dem richtigen Weg mit x² ausklammern, war mir dann bei weiteren Weg nicht mehr sicher :-)

Hat jetzt funktioniert und ich habe die Aufgabe auch verstanden

Vielen, vielen Dank an alle!

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