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Problem mit Potenz, Komplexe Zahl/Lösung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: komplexe Lösung, Komplexe Zahlen, Potenz

tommy23d aktiv_icon

20:16 Uhr, 13.01.2015

Hallo!

Ich komme bei einer Aufgabe der Komplexen Zahlen nicht weiter. Ich hab versucht alles in Polarkoordinaten zu verfassen und auch alles mögliche für das

z

einzusetzen, selbst ausmultiplizieren. Es hat mich nicht weiter gebracht. Wäre super nett, wenn jemand von euch mit da etwas weiter helfen könnte bzw eine gedankenanstoss, danke!

lg Mike

abakus

20:42 Uhr, 13.01.2015

Es gibt 4 Möglichkeiten, -8 als vierte Potenz einer komplexen Zahl zu erhalten. Finde zunächst diese 4 Möglichkeiten unter freundlicher Mithilfe des Herrn Moivre.

Gwunderi aktiv_icon

00:39 Uhr, 14.01.2015

Würde erst das Resultat -8 als komplexe Zahl in Polarform schreiben:
Da der Imaginärteil = 0 und der Realteil negativ ist, ist der Winkel = 180° oder

π

, also:

8 \cdot e^{i π}

Jetzt kann man die Formel benutzen (Betrag wird potenziert, Winkel mit der Hochzahl multipliziert):

z^{n} = r^{n} \cdot e^{i n α}

r^{4} \cdot e^{i 4 \frac{π}{4}} = - 8 \cdot e^{i π}

sin und cos von

\frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Also ist die Lösung:

z = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2}} i = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i

Hoffe das stimmt, und sind das alle Lösungen?

Fällt mir gerade ein:

- \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i

ist doch auch eine Lösung?

Der Betrag bleibt dabei der gleiche, und statt

e^{π}

ergibt es dann

e^{5 π}

, was ja dasselbe ist … bin auch noch nicht sooo sattelfest : )

Noch zwei Lösungen (dann mache ich aber Schluss : )

- \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i

und

\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i

sind auch Lösungen: die Beträge bleiben auch da immer gleich, und es sind jetzt zusätzlich noch

e^{i 4 \frac{3 π}{4}}

und

e^{i 4 \frac{7 π}{4}}

- was immer dasselbe ist wie

e^{i π}

.
Sollten es also insgesamt 4 Lösungen sein?

rundblick aktiv_icon

10:39 Uhr, 14.01.2015

.
" Problem mit Potenz .."
" bin auch noch nicht sooo sattelfest "

@ Gwunderi

\to

besser wäre, du sagst gleich, dass du keine Ahnung hast ..
also statt falsche Dinge zu verbreiten, solltest du eher
sowas ganz lassen ..

Beispiel: zweite Zeile schon:

\to

es ist

- 8

NICHT gleich

- 8 e^{i π} .

.
( das " Minus " vor der Acht ist da völlig fehl am Platz- warum?)
usw
gar grausam falsch ist dann das, was du unter
"Also ist die Lösung:..." anbietest..
usw

- - - - - - - - - - - - -

die Aufgabe

{(z + i)}^{4} = - 8

wird so gelöst

\to

{(z + i)}^{4} = + 8 \cdot e^{(π + 2 k π) \cdot i} \Rightarrow

z_{k} = - i + \sqrt[4]{8} \cdot e^{(\frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2}) \cdot i}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. und für

k = 0, 1, 2, 3

bekommst du die

v i e r

verschiedenen Lösungen für

z

und wenn du willst,
kannst du diese noch in Normalformdarstellung aufschreiben.

.

tommy23d aktiv_icon

15:07 Uhr, 16.01.2015

Vielen Dank für die Antworten!

damit komme ich auf jeden fall weiter!

Lg Mike

hooso aktiv_icon

01:58 Uhr, 09.04.2023

Gerne helfe ich dir bei deiner Aufgabe mit den komplexen Zahlen weiter. Kannst du vielleicht etwas genauer beschreiben, welche Aufgabe du lösen möchtest und welche Schritte du bisher unternommen hast? Dann kann ich besser einschätzen, wie ich dir am besten helfen kann.

KL700 aktiv_icon

14:48 Uhr, 09.04.2023

@hooso:

Der Thread ist 8 Jahre alt.
Der Fragesteller wird sich kaum noch an ihn erinnern oder gar eine Antwort erwarten.

Randolph Esser aktiv_icon

22:01 Uhr, 11.04.2023

{(z + i)}^{4} = - 8

\Leftrightarrow {(z + e^{i \frac{π}{2}})}^{4} = 8 e^{i π}

\Leftrightarrow z + e^{i \frac{π}{2}} \in {8^{\frac{1}{4}} e^{i (\frac{π}{4} + k \frac{π}{2})} : k \in {0,1,2,3}}

\Leftrightarrow z \in {8^{\frac{1}{4}} e^{i (\frac{π}{4} + k \frac{π}{2})} - e^{i \frac{π}{2}} : k \in {0,1,2,3}}

.

Mit den allseits bekannten Sinus- und Cosinus-Werten dann:

{(z + i)}^{4} = - 8

\Leftrightarrow z \in {2^{\frac{1}{4}} + i (2^{\frac{1}{4}} - 1), - 2^{\frac{1}{4}} + i (2^{\frac{1}{4}} - 1), - 2^{\frac{1}{4}} + i (- 2^{\frac{1}{4}} - 1), 2^{\frac{1}{4}} + i (- 2^{\frac{1}{4}} - 1)}

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