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Problem mit Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Tags: Summenzeichen

Ralf123 aktiv_icon

14:26 Uhr, 08.04.2015

Hallo,

kann mir jemand die Gültigkeit dieser Gleichung erklären?

Für Hilfe dankt

Ralf

Bummerang

16:54 Uhr, 08.04.2015

Hallo,

"kann mir jemand die Gültigkeit dieser Gleichung erklären?"

Vielleicht, wenn man erkennen könnte, was auf der inneren Summe für ein Endwert steht!

Ralf123 aktiv_icon

18:37 Uhr, 08.04.2015

Halle Bummerang,

ich verstehe deinen Einwand nicht.

Lässt man einmal den auf beiden Seiten gemeinsamen Faktor $\frac{λ}{j}$ fort, dann erhält man beispielsweise für $j = 3$ den Auadruck

$\sum_{m = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{m - 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{0} \frac{1}{k} + \sum_{k = 1}^{1} \frac{1}{k} + \sum_{k = 1}^{2} \frac{1}{k}$ ?

Und wäre dieser Ausdruck nicht durchaus wohldefiniert, wenn ich dem Ausdruck $\sum_{k = 1}^{0} \frac{1}{k}$ einen Sinn geben, etwa ihn gleich 0 setzen könnte. Dann erhielte man doch

$\sum_{m = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{m - 1} \frac{1}{k} = 0 + \frac{1}{1} + (\frac{1}{1} + \frac{1}{2})$ ??

Mir scheint hier also in der Doppelsumme nicht etwas zu fehlen, sondern etwas zu viel zu sein.

Ralf

Roman-22

21:12 Uhr, 08.04.2015

> Und wäre dieser Ausdruck nicht durchaus wohldefiniert, wenn ich dem Ausdruck
> ∑k=101k einen Sinn geben, etwa ihn gleich 0 setzen könnte.
Das kann man nicht nur, dass muss man sogar. Im Gegensatz zu Zählschleifen in der Informatik muss in der Mathematik der Startwert in einer Summe kleiner oder gleich dem Endwert sein, andernfalls spricht man von der "leeren Summe" und deren Wert ist definitionsgemäß Null.

Man kann dieses Problem bei dieser Aufgabe vermeiden, in dem man die erste Summe nicht bei m=1 sondern erst bei m=2 beginnen lässt. Für m=1 erhält man ohnedies immer nur einen Nullsummanden. Außerdem sollte man $j \geq 2$ voraussetzen, denn für $j < 2$ ist das Ergebnis Null (bzw. wegen des Vorfaktors für $j = 0$ sogar nicht definiert).

> Mir scheint hier also in der Doppelsumme nicht etwas zu fehlen,
> sondern etwas zu viel zu sein.
?? Warum glaubst du das?

Die angegeben Beziehung ist jedenfalls richtig.

Du erhältst für j=3 das Ergebnis 2,5 und das stellt sich auch mit der Einfachsumme ein:
$\sum_{k = 1}^{3 - 1} \frac{3 - k}{k} = \frac{3 - 1}{1} + \frac{3 - 2}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Gruß R

oculus aktiv_icon

11:37 Uhr, 09.04.2015

Danke Roman,

und um jetzt die Gleichung

$\sum_{m = 1}^{j} \sum_{k = 1}^{m - 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{j - 1} \frac{j - k}{k}$

zu beweisen, muss ich jetzt mit vollständiger Induktion über $j$ weitermachen ?

Ralf

pwmeyer aktiv_icon

12:02 Uhr, 09.04.2015

Hallo,

einfacher - und das soll wohl auch der Sinn der Aufgabe sein - ist es, die Reihenfolge der Summation zu vertauschen. Wir haben

$m : 2 \to j$ und $k : 1 \to m - 1$

Das kan man umschreiben zu

$k :$ ? und $m :$ ?

Gruß pwm

Ralf123 aktiv_icon

22:19 Uhr, 09.04.2015

Ich habe es ohne Induktion direkt ausrechnen können:

$\sum_{m = 1}^{j} \sum_{k = 1}^{m - 1} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + (\frac{1}{1} + \frac{1}{2}) + ... + (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + . . + \frac{1}{j - 2} + \frac{1}{j - 1}) =$
$(1 \cdot (j - 1) + \frac{1}{2} \cdot (j - 2) + .$ . $+ \frac{y - (y - 2)}{j - 2} \cdot 2 + \frac{j - (j - 1)}{j - 1} \cdot 1) =$
$j \cdot (1 + \frac{1}{2} + . . + \frac{1}{j - 2} + \frac{1}{j - 1}) - (j - 1) =$
$j \cdot \sum_{k = 1}^{j - 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{j - 1} 1 = \sum_{k = 1}^{j - 1} (\frac{j}{k} - 1) = \sum_{k = 1}^{j - 1} \frac{j - k}{k}$

Danke für die Hilfe.

Ralf

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