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zwei Ungleichungen aus der Stochastik

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Abschätzung, Erwartungswert, fast sichere Konvergenz, Ungleichung

 
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Muckelchen96

Muckelchen96 aktiv_icon

18:10 Uhr, 04.09.2021

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Ich habe aktuell Probleme mit zwei Ungleichungen aus einer Quelle mit der ich arbeite.

Erste Ungleichung: P(T<(1-ɛ)nμ)<ɛ für n groß genug.
Wobei T eine ZV ist, wie sie genau aussieht, dürfte hier keine Rolle spielen, außer dass sie -wertig ist und folgendes gilt: T/nμ fast sicher und in L1
Außerdem ist μ>0 und ɛ(0,1).

Meine Professorin hat gemeint, dass man hier die fast sichere Konvergenz braucht. Ich habe es mit stochastischer Konvergenz versucht, aber dann bekommt man verschiedene epsilons. Ich weiß aber nicht, wie ich das mit fast sicherer Konvergenz mache, dass an beiden Stellen das gleiche ɛ steht.


Zweite Ungleichung:
E[TBc](1+3ɛ1-α)nμ
B ist irgendein Ereignis mit P(B)α(0,1)
Um diese Ungleichung zu zeigen braucht man wohl die erste Ungleichung zusammen mit folgender Ungleichung, die aus der L1-Konvergenz folgt, was ich auch leicht gezeigt habe.
E[T](1+ɛ)nμ

Die Sachen, die ich versucht habe zu benutzen, waren Markov, totale Erwartung und die Formel für bedingte Erwartung, aber immer habe ich das Problem, dass ich in die falsche Richtung abschätze.
Wenn ich z.B. ansetze mit
E[TBc]=P(Bc)-1E[1BcT]
Nun kann ich den ersten Faktor nur nach unten durch 1-α abschätzen.
Wenn ich Markov benutze, also E[T]aP(Ta), schätze ich den Erwartungswert auch wieder in die falsche Richtung ab. Und wenn ich Markov benutze, um die erste Ungleichung zu benutzen habe ich wieder die falsche Richtung in der Wahrscheinlichkeit drin.


Etwas Hilfe würde ich sehr begrüßen.
LG Muckelchen aka Laurent

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:05 Uhr, 08.09.2021

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Die fast sichere Konvergenz zieht die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit nach sich. D.h., aus deiner Voraussetzung "T/nμ fast sicher" folgt für alle δ>0 unmittelbar

P(Tn-μ>δ)0 für n.

Wir wählen nun δ=εμ, dann muss es einen Index n0 groß genug geben, so dass

P(Tn-μ>εμ)<ε für alle nn0 (1)

gilt. Die Wahrscheinlichkeit links kann man aufdröseln per

P(Tn-μ>εμ)=P(Tn-μ>εμ)+P(Tn-μ<-εμ)
=P(T>(1+ε)nμ)+P(T<(1-ε)nμ)P(T<(1-ε)nμ). (2)

Aus (1),(2) bekommen wir das gewünschte P(T<(1-ε)nμ)<ε für alle nn0.


> Ich weiß aber nicht, wie ich das mit fast sicherer Konvergenz mache, dass an beiden Stellen das gleiche ε steht.

Genau genommen muss das auch nicht sein: Die Aussage gilt genauso, wenn wir das ε rechts durch ein beliebiges anderes η>0 ersetzen. Das wäre ja sogar der allgemeinere Fall, von dem η=ε nur einen Spezialfall darstellt.

------------------------------------------------------------

Ungleichung zwei verstehe ich nicht:

Wenn sowieso α(0,1) fest ist und das für beliebige ε>0 bewiesen werden soll: Wieso dann dieses komplizierte Konstrukt 3ε1-α, wenn man durch die freie Wahl von ε stattdessen dort schlicht und einfach ε schreiben könnte? Ich hab den Eindruck, du verschweigst uns da was an Voraussetzungen. Gib bitte mal den kompletten Aufgabentext dazu an.

Muckelchen96

Muckelchen96 aktiv_icon

14:30 Uhr, 08.09.2021

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Danke für die Antwort.

Aber ich wusste wie gesagt auch, dass man mit stochastischer Konvergenz die erste Ungleichung bekommt aber mit zwei verschiedenen ɛ.

Aber in meiner Quelle steht es halt so mit nur einem ɛ. Klar ist es allgemeiner mit zwei verschiedenen, aber diese erste Ungleichung wird halt nur für die zweite benötigt und es könnte sein, dass die allgemeinere erste Unlgeichung nicht ausreicht.
Es wundert mich halt auch, dass das wohl auch das gleiche ɛ sein soll wie in der Ungleichung mit dem Erwartungswert.

Ne, ich verschweige da nichts meines Wissens nach. Es ist auch kein "Aufgabentext" sondern ein paper. Ich geb dir mal den link zu meiner Quelle: arxiv.org/pdf/1902.01849.pdf
Siehe Seite 15 (5) und (6).

Naja, wie genau die 3ɛ zustande kommen weiß ich auch nicht, nur dass man halt die vorherigen Ungleichungen dazu braucht. Das Ding ist am Ende wollen wir quasi ɛ gegen 0 gehen lassen und dann interessiert uns der Faktor 3/1-α auch nicht.
Aber selbst wenn ich sage, ok, dass sollen alles drei verschiedene ɛ sein, und man lässt dann halt alle davon gegen 0 laufen lassen, muss ich immer noch diese zweite Ungleichung herleiten.
Mir würde ja auch sowas wie E[TBc](1+ɛ)nμ reichen.


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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

15:47 Uhr, 08.09.2021

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Doch: Du hast verschwiegen, dass diese deine Ungleichung Zwei (im Paper die (6)) für genau jene n gelten soll, für die die Ungleichungen (5) schon nachgewiesenermaßen gelten - das ist vermutlich eine wichtige Information für den Beweishergang!!! Irgendwie kriege ich es aber trotzdem noch nicht zusammengepuzzelt...

P.S.: Deine Verkürzung von T(n,0) auf T ist etwas arg - es ist schon noch wichtig, dass diese Zufallsgröße von n abhängt. Wenn schon schreibfaul, dann hätte es wenigstens Tn sein sollen.

Muckelchen96

Muckelchen96 aktiv_icon

16:21 Uhr, 08.09.2021

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Naja, ich habe nicht zufälligerweise in beiden Ungleichungen das gleiche n benutzt.
Ja, ich hätte vlt noch sagen können, dass T von n abhängt, nur habe ich das als nicht wirklich relevant betrachtet, wenn man die Konvergenzeigenschaft(en) hat.
Übrigens kannst du die 0 über dem Erwartungswert bzw. der Wahrscheinlichkeit ignorieren.
Ich liebe auch diese Phrase aus der Quelle: "It is straightforward to check that...".
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:39 Uhr, 08.09.2021

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> Naja, ich habe nicht zufälligerweise in beiden Ungleichungen das gleiche n benutzt.

Na von mir aus, dann lese ich eben zu wenig zwischen den Zeilen...


Ich kann nur vermuten, dass die zweite Ungleichung auf

E[T(n,0)Bc]P(Bc)+E[T(n,0)B]P(B)=E[T(n,0)](1+ε)nμ

basiert, aber wie genau dann die zweite Ungleichung von (5) eingesetzt wird, um E[T(n,0)B] bzuschätzen, ist mir nicht klar.
Muckelchen96

Muckelchen96 aktiv_icon

17:07 Uhr, 08.09.2021

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Ja, genau das habe ich wie gesagt auch versucht, das ist ja die Formel für die totale Erwartung. Ich habe sowas versucht:


P(B)*E[TB]=E[1BT]a*P(1BTa) letzteres ist Markov
und dann will ich a=(1-ɛ)nμ setzen und die Wahrscheinlichkeit in Markov
will ich mit der ersten Ungleichung durch a*(1-ɛ) nach unten abschätzen. Die Richtung passt immerhin. Aber das kann man so nicht machen, weil der Indikator in der Wahrscheinlichkeit noch stört. Und selbst dann komme ich nicht auf diesen Faktor aus der Quelle. Und wie gesagt, den Faktor P(Bc)-1 kann man nur in die falsche Richtung abschätzen.
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