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Probleme bei Urnenmodellwahl

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Kombinatorik, Urnenmodell

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13:02 Uhr, 24.11.2019

Hallo Ihr Lieben,

ich habe momentan noch Schwierigkeiten bei der Wahl des richtigen Urnenmodells in einer Textaufgabe zur Kombinatorik. Mir sind die vier Urnenmodelle (mit ZL, mit BdZRF / mit ZL, ohne BdZRF / ohne ZL, mit BdZRF und ohne ZL, ohne BdZRF) bekannt und auch deren Berechnungsformel. Allerdings fällt es mir noch schwer zu entscheiden, welches Modell ich wann verwenden muss bzw. welche "Signalwörter" ich beachten muss. Habt ihr da vlt. ein paar Aufgaben oder kennt Seiten, an denen man das gut üben kann?

Ich hätte da mal ein paar Beispiele:
1. 5 Leute wollen durch eine Tür. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Antwort: Wäre einfach 5! = 120 Möglichkeiten

Problem: Ich kenne die Lösung aus der Schule noch, aber warum? Ich hätte als Urnenmodell gesagt: ohne ZL (jeden Mensch gibts nur einmal), ohne BdZRF (da egal ist, wer als erstes durch geht). Wäre aber n über k?

2. 5 Leute wollen durch eine Tür. Zwei davon sind identische Zwillinge. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Problem: Hier haben wir zwei identische Personen. Das würde für mich schließen 5!/(5-4)! = 120 Möglichkeiten weiterhin?

3. Selbiges Beispiel: Ein Zwillings und ein Drillingspaar. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Problem: s.o. Würde da aber genauso rechnen. Wir haben wieder 5! Möglichkeiten insgesamt, mit der Problematik, dass sich nur "2" unterscheiden. Daher hätte ich gesagt: 5!/(5-2)! = 20 Möglichkeiten?

Wäre super, wenn ihr auch noch weitere Beispiele kennen würdet oder Seiten, auf denen man das gut üben kann. Habe bisher leider noch keine passende Seite gefunden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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13:42 Uhr, 24.11.2019

www.mathebibel.de/permutation-ohne-wiederholung

www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung

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13:49 Uhr, 24.11.2019

Vielen Dank für die Links. Beide sind mir bereits bekannt.

Wäre meine Lösung damit richtig?

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13:54 Uhr, 24.11.2019

1.5! = 120

\frac{5!}{2! \cdot 11 \cdot 1! \cdot 1!} = 60

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

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13:56 Uhr, 24.11.2019

Aufgabe 1 und 3 kann ich nachvollziehen.

Aufgabe 1 ist logisch, Aufgabe 3: 3! (weil ich die Drillinge so anordnen kann) multipliziert mit 2! wegen der Anordnung der Zwillinge.

Den Lösungsweg bei 2 kann ich aber noch nicht nachvollziehen. Bei mir kommt bei dieser Rechnung auch ein anderes Ergebnis raus.

Mir erscheint dann eher logisch 5!/2! (Wegen der Anordnung der Zwillinge). Dann kommt 60 auch raus.

Habe ich das so richtig verstanden?

ledum aktiv_icon

23:02 Uhr, 24.11.2019

Hallo

5 \frac{!}{2}!

due

1 \neq 1

steht da nur im Nenner um wenn man 2 paare hätte gleich zu wissen dass dann nochmal

2!

drin wären,

d, h,

damit die Formel allgemeiner aussieht, normalerweise lässt man natürlich die

1!

weg.
Gruß ledum

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23:46 Uhr, 24.11.2019

Vielen Dank für die Antwort. Also kann ich allgemein sagen:

Im Zähler: Gesamte Anordnung (hier: 5!)
Im Nenner: Geforderte Anordnung (bei ein paar Zwillinge: 2! für die Zwillinge und 1! für jeden einzelnen, aber: Warum nicht 3!, weil ja drei übrig bleiben?)

Ansonsten ist das Prinzip klar. Danke!

Habt ihr noch weitere Übungsaufgaben zu Urnenmodellen?

Liebe Grüße und bisher vielen Dank allen Antwortern,
Fanatiker

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08:33 Uhr, 25.11.2019

123mathe.de/wahrscheinlichkeitsrechnung-uebersicht

anonymous

08:55 Uhr, 25.11.2019

"Im Nenner:... Warum nicht

[

durch]

3!

[

teilen], weil ja drei übrig bleiben?"

Du musst dir klar machen:
Wenn du fünf Personen hast, von denen 2 ein Zwillingspaar sind, die ununterscheidbar sind, dann sind die restlichen drei Personen unterscheidbar.
Es macht also einen Unterschied. Und folglich ermöglichen die drei Personen eine Fülle an unterschiedlichen Möglichkeiten.
Nennen wir doch mal die Zwillinge "Z".
Und nennen wir doch mal die drei anderen "A,

C,

D".
Und nehmen wir doch mal nur die kleine Auswahl an Möglichkeiten, wenn die Zwillinge zuerst durch die Tür treten.
Dann ermöglichen die drei anderen immer noch die Möglichkeiten:
ZZACD
ZZADC
ZZCAD
ZZCDA
ZZDAC
ZZDCA

Wenn du hingegen wie angerissen noch durch

3!

teilen würdest,

\frac{5!}{2! \cdot 3!}

dann hättest du erheblich weniger Möglichkeiten (eben nur

10),

weil du dann auch die 3 anderen Personen ununterscheidbar angenommen hättest.
Also in unserem Fall ein Zwillingspaar "Z", und ein Drillingspaar "B", die alle Doppelgänger von Boris Becker sind.
In dem Fall hast du nur noch die Möglichkeiten:
ZZBBB
ZBZBB
ZBBZB
ZBBBZ
BZZBB
BZBZB
BZBBZ
BBZZB
BBZBZ
BBBZZ
(das sind eben

10

Möglichkeiten)
und eben wenn wir wieder nur die Teilauswahl mit den Zwillingen zuerst betrachten:
ZZBBB
fertig aus Schluss, keine weitere Möglichkeit wie oben, unter den drei verbleibenden noch weitere Möglichkeiten zu schaffen.

Wie schon angesprochen, läuft das Thema im Fachjargon unter "Permutation".
Wenn dir die genannten Links in der Mathebibel nicht zusagen, dann findest du unter 'Permutation' im Netz eine Unmenge an Beschreibungen, Erläuterungen und Beispielen.

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23:03 Uhr, 25.11.2019

Vielen, vielen Dank für die super ausführliche Antwort.

Ich hätte dann noch eine letzte, abschließende Frage(n):
Schauen wir uns das Lotto Beispiel aber mal verändert an: 49 Kugeln, wovon 20 blau sind und 29 grün.

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 7 aus 49 Kugeln zu ziehen?
Aw: 7 aus 49 (bzw. 49nCr7)

2. Wie viele Möglichkieten gibt es, sodass genau 4 blaue Kugeln bei sind.
Aw: 49nCr7 / (20nCr4)*(29nCr3)

Wäre das so richtig?

Bei 1 bin ich mir relativ sicher und bei 2, Begründung mit eurer bisherigen Hilfestellung: Gesamt / 4 Blaue von 20 blauen Kugeln * 3 grüne (da 7 gezogen werden) von 29 grünen

Wenn das so stimmt, dann habe ich es langsam raus und bedanke mich schonmal!

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06:30 Uhr, 26.11.2019

1.Bedenke, die Kugel der beiden Farben sind nicht unterscheidbar

Außerdem: Es gibt verschiedene Möglichkeiten: nur grüne, nur blaue, 1 grüne, 6 blaue
2 grüne, 5 blaue, usw.

anonymous

08:35 Uhr, 26.11.2019

Vor allem müsstest du die Fragestellung konkretisieren.
zu

1 .)

"Wie viele Möglichkeiten gibt es, 7 aus

49

Kugeln zu ziehen?"
Aus der Fragestellung wird nicht ersichtlich, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Bedenke: Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, dann gibt es doch anschaulich genau die folgenden Möglichkeiten:
0 blaue 7 grüne,
1 blaue 6 grüne,
2 blaue 5 grüne,
3 blaue 4 grüne,
4 blaue 3 grüne,
5 blaue 2 grüne,
6 blaue 1 grüne,
7 blaue 0 grüne.
Also offensichtlich 8 Möglichkeiten.

Wenn die Reihenfolge dagegen eine Rolle spielt, dann solltest du wieder auf das kürzlich Gelernte zurückgreifen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es (?)
mit 0 Blauen und 7 Grünen?
mit 1 Blauen und 6 Grünen?

. .

.
mit 7 Blauen und 0 Grünen?

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13:09 Uhr, 26.11.2019

Die eigentliche Aufgabe:

"In einem Käfig befinden sich 30 (unterscheidbare) Schmetterlinge. Bekannt ist:
weiblich/gelbflüggig: 10
weiblich/grünflüggig: 8
männlich/gelbflüggig: 7
männlich/grünflüggig: 5

Es werden nun zufällig 6 Schmetterlinge entnommen."

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Meine Lösung: 30nCr6 (also 6 aus 30)

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sodass genau drei Schmetterlinge gelbflüggig sind?

Meine Lösung: 30nCr6 / (17nCr3)*(13nCr3)

Begründung für den Nenner: Ich ziehe drei von insgesamt 17 aus den gelbflügligen und der Rest wird grünflüglig sein.

P.S. Es ist eine von mir selbst erstellte Aufgabe. Ich hoffe daher, dass die Fragestellung klar formuliert ist.

anonymous

13:13 Uhr, 26.11.2019

"Ich hoffe daher, dass die Fragestellung klar formuliert ist."
Nein, das ist sie leider nicht.
Wie schon mal gesagt, du wirst schon dir selbst und uns Lesern klar machen müssen, in wie fern es auf irgend eine Reihenfolge ankommt.

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13:14 Uhr, 26.11.2019

Habe die Fragestellung (bis auf die Zahlen) von nem alten Übungsblatt übernommen. Deshalb fällt es mir selber schwer zu erkennen, ob mit ZL oder ohne ZL und ob mit BdZRF oder ohne BdZRF.

anonymous

13:19 Uhr, 26.11.2019

Mehr noch, du sprichst von
"...30 (unterscheidbaren) Schmetterlingen".
Was ist unterscheidbar?
Ist es nur die Farbe der Flügel und ihr Geschlecht,
oder sind die Schmetterlinge auch unterscheidbar, weil wir sie kennen gelernt haben und die

10

gelbflügligen weiblichen Schmetterlinge

A \cap a

Berta
Cäcilie
Dorothea
Emilia
Friderike
Gertrud
Heidi
Ilona
Jolanda
getauft haben?

Ob wir die Fragestellung von nem alten Übungsblatt, der Bibel oder aus dem Grundgesetz haben, wir werden sie erst mal verstehen müssen.
Und wenn das Verständnis der Aufgabentextes unklar ist, dann werden auch

1234

onlinemathe-Forums-Leser nicht mehr, als Unverständliches lesen und wild spekulieren können.

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13:27 Uhr, 26.11.2019

Der Aufgabenstellung zu urteilen werden diese nur in Geschlecht und Flügelfarbe unterschieden.

anonymous

14:07 Uhr, 26.11.2019

Ich darf vorschlagen:
geben wir den weiblichen Schmetterlingen Großbuchstaben:

B, N

geben wir den männlichen Schmetterlingen Kleinbuchstaben:

b, n

geben wir den gelb-flügeligen Schmetterlingen die Buchstaben:

B, b

geben wir den grün-flügeligen Schmetterlingen die Buchstaben:

N, n

Dann haben wir

10

mal

B

(weiblich, gelb)
8 mal

N

(weiblich, grün)
7 mal

b

(männlich, gelb)
5 mal

n

(männlich, grün)
also insgesamt

30

Schmetterlinge.

Es werden 6 Schmetterlinge entnommen.

Jetzt müssen wir immer noch vereinbaren und Verständnis austauschen müssen, ob wir die Reihenfolge beachten oder ignorieren wollen...

anonymous

14:56 Uhr, 26.11.2019

Um die Sache abzukürzen
und
weil du ja Urnenmodell-Verständnisse üben willst:
Mach doch einfach beide Aufgabenmodelle:

a)

OHNE Beachtung der Reihenfolge
Was wirfst du in die Urne?
Wie oft ziehst du?
Kann sich das, was du ziehst, wiederholen?

b)

MIT Beachtung der Reihenfolge
Was wirfst du in die Urne?
Wie oft ziehst du?
Kann sich das, was du ziehst, wiederholen?

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