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Probleme beim Induktionsbeweis

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Begreife, Induktionsbeweis

ultrAslan31 aktiv_icon

13:50 Uhr, 22.04.2010

Guten Nachmittag miteinander,

Ich habe Morgen eine Mathe Schriftliche über das Thema "Vollständige Induktion". Heute haben wir in der Schule wieder einpar Beispiele durchgemacht, jedoch hab ich es trotzdem nicht ganz verstanden. Hier sind die Aufgaben+Die Lösungen, es würde mich sehr freuen wenn mir jemand erklären könnte was die Logik dahinter ist bzw. was man machen muss, da ich so gut wie nicht drauss komme was meine Lehrerin da gemacht hat:

1 .) 9^{n} - 1

ist durch 8 teilbar. Beweise.
Lösungsansatz:

VERANKERUNG

n = 1 9^{1} - 1 = 8

ist durch 8 teilbar

n = 2 9^{2} - 1 = 80

ist durch 8 teilbar

VERERBUNG

9^{n + 1} - 1

soll durch 8 teilbar sein.

\to 9 \cdot 9^{n} - 1 = 8 \cdot 9^{n} + 1 \cdot 9^{n} - 1

8 \cdot 9^{n}

durch 8 teilbar, da

\cdot 8

1 \cdot 9^{n - 1}

durch 8 teilbar, da bei der verankerung bewiesen.

q . e . d

.

Ich komme bei der Vererbung nicht drauss, bzw. bei diesem Schritt:
VERERBUNG

9^{n + 1} - 1

soll durch 8 teilbar sein.

\to 9 \cdot 9^{n} - 1 = 8 \cdot 9^{n} + 1 \cdot 9^{n} - 1

Diese Zerlegung des Termes verwirrt mich sehr. Kann mir dabei jemand helfen, zu verstehen was meine Lehrerin da gemacht hat?

oder hier bei Aufgabe 2

2 .) 11^{n + 2} + 12^{2 n + 1}

ist durch

133

teilbar. Beweise.

VERANKERUNG

n = 1 11^{3} + 12^{3} = 23 \cdot 133

VERERBUNG

11^{n + 3} + 12^{2 n + 3} = 11^{n + 3} + 12^{2} \cdot 12^{2 n + 1}

\to 11^{1} \cdot 11^{n + 2} + 144 \cdot 12^{2 n + 1} = 11 \cdot 11^{n + 2} + 11 \cdot 12^{2 n + 1 + 133 \cdot 12^{2 n + 1}}

= 11 \cdot 11^{n + 2} + 12^{2 n + 1} + 133 \cdot 12^{2 n + 1}

11^{n + 2} + 12^{2 n + 1}

teilbar durch

133

133 \cdot 12^{2 n + 1}

teilbar durch

133,

\cdot 133

q . e . d

.

Hier komme ich ebenfalls bei der vererbung nicht draus. ich hoffe jemand kann mir das ausführlich erklären...vielen dank im vorraus.

mfg uA31

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HP7289 aktiv_icon

14:05 Uhr, 22.04.2010

Ich habe mir jetzt nur die erste Aufgabe angeguckt, weil es wahrscheinlich der gleiche "Trick" ist.

9 \cdot 9^{n} - 1

= (8 + 1) \cdot 9^{n} - 1

= 8 \cdot 9^{n} + 1 \cdot 9^{n} - 1

Da steckt also keine größere Mathematik dahinter. ;-)

ultrAslan31 aktiv_icon

15:10 Uhr, 22.04.2010

hi!

vielen dank für deine rasche antwort! also grundsätzlich müssten wir doch diese formel beweisen:

9^{n + 1} - 1

aber bei diesem vorgehen beweisen wir ja eigentlich nur

9^{n} - 1

. wieso schreiben wir dann die andere formel erst auf, wenn wir es nicht brauchen?

mfg uA31

HP7289 aktiv_icon

15:13 Uhr, 22.04.2010

Du sollst zeigen, dass

9^{n + 1} - 1

durch 8 teilbar ist.

Dazu formst du den Term um.

9^{n + 1} - 1

= 9 \cdot 9^{n} - 1

= (8 + 1) \cdot 9^{n} - 1

= 8 \cdot 9^{n} + 1 \cdot 9^{n} - 1

= 8 \cdot 9^{n} + (9^{n} - 1)

Der erste Summand ist offensichtlich durch 8 teilbar, weil 8 als Faktor da steht. Der zweite Summand ist nach Induktionsvoraussetzung durch 8 teilbar. Demzufolge auch die Summe.

Jetzt verstanden?

ultrAslan31 aktiv_icon

15:18 Uhr, 22.04.2010

achsooooooooooooooooooo ja jetzte hab ichs verstanden!!! vieeeelen dank HP, du warst eine grosse hilfe ;-)

mfg uA31

ps.bitte thread offen lassen, falls andere probleme auftauchen kann ich mich nochmal melden ohne einen neuen thread öffnen zu müssen.

ultrAslan31 aktiv_icon

15:41 Uhr, 22.04.2010

hi, ich wieder.

bei der 2.ten aufgabe habe ich zwar alles verstanden aber ich kann nicht nachvollziehen wieso das hier:

11 \cdot (11^{n + 2} + 12^{2 n + 1}) + 133 \cdot 12^{2 n + 1}

der "beweis" sein soll.

lässt man da beim ersten term das

\cdot 11

einfach weg oder was? ich wass dass der term in der klammer durch

133

teilbar ist, (verankerung) aber was ist mit *11?? vlt ist es ja nachdem man mit

11

multipliziert nicht mehr durch

133

teilbar...wäre sehr froh über eine kurze erklärung.

mfg uA31

HP7289 aktiv_icon

15:45 Uhr, 22.04.2010

Kurz gesagt: Der Term bleibt durch

133

teilbar, auch wenn du

11

(oder sonst irgendeine ganze Zahl) ranmultiplizierst.

Das musst du dir mal klar machen. Vielleicht indem du Teilbarkeit mit Primfaktorzerlegung begründest. Die Faktoren können nur mehr werden.

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