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Probleme lösen im Umfeld der Tangente

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Normal, Tangent, Tangentengleichung

Polstelle aktiv_icon

17:35 Uhr, 22.09.2010

Hallo an alle,

nun denn normalerweise bin ich ein Typ der Mathe versteht und eigentlich löse ich meine Aufgaben selber, doch heute stehe vor zwei Aufgaben die ich einfach nicht verstehe, ich weiß aber das sie etwas mit dem Thema in der Überschrift zu tun haben.

Nun denn 1. Aufgabe:

Durch den Graphen der Funktion f mit f(x)= -0,002x^4 + 0,122x^2- 1,8 (x in Meter, f(x) in Meter) wird für -5 <= x >= 5 der Querrschnitt eines Kanals dargestellt. Die sich nach beiden Seiten anschließende Landfläche liegt auf der Höhe y = 0.
In welchem Abstand vom Kanalrand darf eine aufrecht stehende Person (Augenhöhe 1,60m) höchstens stehen, damit sie beim leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals sehen kann?

Nun denn was ich bis jetzt habe ist auf jeden Fall die Ableitung:

f'(x) = -0,008x^3 + 0.244x

Ich habe dann folgende Tangentengleichung erschaffen: 0 = f'(x)(1,6-u) + f(x)
habe logischerweise auch alles eingefügt und ausmultipliziert und zusammengefasst.

Bin dann auf zwei x werte gekommen ca. -5,502 & ca. 5,491.

Ich habe aber auch mal umgekehrt also dann sach das folgendermaßen aus
1,6 = f'(x)(0-u) + f(x)
dann kamm ich auf ca. 6 und ca. -6.

Aber Hauptproblem ist ich versteh die Aufgabe nicht. Könnte mir da bitte jmd helfen.
Damit ich auf den Lösungsweg komme, bzw. kann mir jmd. alles anschaulich erklären?

So 2.Problemaufgabe s. Bildanhang.

Nun denn mein Problem ist bei a) & b).
Bei a) habe dich zwar die Gleichung der normalen und der tangente gleichgesetzt, aber ich weiß das es falsch ist. Bitte helft mir auch dort! Denn ich komme echt nicht weiter und schließlich muss ich es bis zum Abi begriffen haben!

LG eure Polstelle

Alle Aufgaben stammen aus dem "Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Kursstufe BW"

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Tangente / Steigung

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18:02 Uhr, 22.09.2010

Hallo,

du solltest erstmal alle Tangenten an die Funktion, die durch

T (0 | - 1,8)

gehen, bestimmen. Die Tangenten müssen folgende Bedingungen erfüllen:

t (0) = - 1,8; t (x_{0}) = f (x_{0}); t' (x_{0}) = f' (x_{0})

Die Tangente ist eine Gerade, also hat sie folgende Form:

t (x) = m x + c

Einsetzen von

T (0 | - 1,8)

liefert

c = - 1,8

also

t (x) = m x - 1,8

Du hast nun also im Endeffekt folgendes Gleichungssystem:

m x_{0} - 1,8 = - 0,002 x_{0}^{4} + 0,122 x_{0}^{2} - 1,8

m = - 0,008 x_{0}^{3} + 0,244 x_{0}

Die zweite Gleichung kannst du in der ersten direkt ersetzen:

(- 0,008 x_{0}^{3} + 0,244 x_{0}) x_{0} - 1,8 = - 0,002 x_{0}^{4} + 0,122 x_{0}^{2} - 1,8

- 0,008 x_{0}^{4} + 0,244 x_{0}^{2} = - 0,002 x_{0}^{4} + 0,122 x_{0}^{2}

0,006 x_{0}^{4} - 0,122 x_{0}^{2} = 0

0,006 x_{0}^{2} (x_{0}^{2} - \frac{61}{3}) = 0

0,006 x_{0}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 0

oder

x_{0}^{2} - \frac{61}{3} = 0 \Leftrightarrow x_{0}^{2} = \frac{61}{3} \Leftrightarrow {(x_{0})}_{1,2} = \pm \sqrt{(\frac{61}{3})}

Die Tangente an

x_{0} = 0

ist die waagrechte Tangente am Tiefpunkt, die ist hier unbrauchbar. Und aus Symmetriegründen reicht es einfach mit der Tangente an

x_{0} = \sqrt{(\frac{61}{3})}

weiterzumachen.
Aus

m = - 0,008 x_{0}^{3} + 0,244 x_{0}

folgt

m = - 0,008 \cdot \frac{61}{3} \cdot \sqrt{(\frac{61}{3})} + 0,244 \cdot \sqrt{(\frac{61}{3})} = \frac{61}{750} \cdot \sqrt{(\frac{61}{3})}

Die entsprechende Tangentengleichung lautet also

y = \frac{61}{750} \cdot \sqrt{(\frac{61}{3})} \cdot x - 1,8

Da die Augenhöhe

1,6 m

ist schaust du also wo die Tangente diesen Wert annimmt:

\frac{61}{750} \cdot \sqrt{(\frac{61}{3})} \cdot x - 1,8 = 1,6

\frac{61}{750} \cdot \sqrt{(\frac{61}{3})} \cdot x = 3,4

\Rightarrow x = \frac{2550}{61} \cdot \sqrt{(\frac{3}{61})} \approx 9,27

An dieser Stelle kann der der Typ die tiefste Stelle des Kanals also gerade noch sehen. Da nach dem Abstand vom Rand gefragt ist musst du noch 5 vom Ergebnis abziehen:

d = \frac{2550}{61} \cdot \sqrt{(\frac{3}{61})} m - 5 m \approx 4,27 m

Die Person darf höchstens

~ 4,27 m

vom Kanalrand entfernt stehen.

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20:46 Uhr, 22.09.2010

Danke für die Auflösung der 1. Frage. Sie hilft mir teilweise. Die Lösung zu haben ist zwar toll, doch ich hab es nicht alles verstanden!

Warum muss man die Tangentengleichung vom Punkt (0/-1,8) machen?
Deine Rechenschritte sind sinnvoll, ich verstehe auch deine Schritte, doch ich verstehe nicht warum du den Punkt (0/-1,8) genommen hast.
Und was ist mit Landfläche gemeint? ist die Landfläche der x-wert Null weil da schließlich steht y = 0, aber das kann doch nicht seint sein weil es doch ein y-wert ist. Ist das die 0 vom Punkt (0/-1,8)? Bitte erklär mir wie du auf diesen Punkt gekommen bist.

LG Polstelle

PS: Danke schön im Voraus

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21:22 Uhr, 22.09.2010

T (0 | - 1,8)

ist der Tiefpunkt der Funktion. Diesen Punkt soll der Typ gerade noch sehen können. Deswegen muss er auf einer Tangenten an

f

liegen.

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21:54 Uhr, 22.09.2010

Achso, dankeschön das hab ich jetzt auch verstanden! :-)
Das ist logisch! Jetzt ist es für mich geklärt.

Dankeschön.

Und die zweite aufgabe, könntest du mir da bitte Tipps geben damit ich auf die Lösung komme.

Lg Polstelle

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11:33 Uhr, 23.09.2010

Naja um ehrlich zu sein, weiß ich nicht genau wie du das nun zeigen sollst. Möglich wäre es natürlich so: Die Normale in

P (u | f (u))

ist orthogonal zur Tangenten in

P (u | f (u)),

hat also die Steigung

- \frac{1}{f' (u)}

\Rightarrow y_{n} = m x + c = - \frac{1}{f' (u)} \cdot x + c

Außerdem verläuft sie durch

P (u | f (u))

also:

f (u) = - \frac{1}{f' (u)} \cdot u + c \Leftrightarrow c = f (u) + \frac{1}{f' (u)} \cdot u

\Rightarrow y_{n} = - \frac{1}{f' (u)} \cdot x + f (u) + \frac{1}{f' (u)} \cdot u \Leftrightarrow y_{n} = - \frac{1}{f' (u)} (x - u) + f (u)

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21:40 Uhr, 23.09.2010

Naja,

ich bin mir da nicht ganz sicher ich hab bei der zweiten aufgabe teil a die n-gleichung und t.gleichung gleichgesetzt um daraus die gesetztmäßigkeit zu erkennen, doch das ist meiner ansicht nach zu einfach und falsch.

Ich finde es echt absurd vom Lehrer uns Sachen, aufzudrücken die wir noch nicht mal richtig besprochen haben. Ich bin mir sicher das alle die Aufgabe nicht haben werden.
Gibt es hier keine Mathelehrer die das einem erklären können?

Shipwater danke das du dich darum bemühst, aber so wie ich das beurteilen kann kommst du mit der 2. AUfgabe auch nicht zurecht.
Ich habe gesehen das du 17 bist. Bist du G8er oder G9er?

LG Polstelle

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22:03 Uhr, 23.09.2010

Natürlich hier gibt es auch Mathelehrer und sogar noch "bessere" Mathematiker ;-)
Ich würde die Aufgabe eben so lösen wie ich es gezeigt habe, keine Ahnung ob die Aufgabe das so verlangt. Und ich bin noch der letzte G9-Jahrgang. ;-)

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22:12 Uhr, 23.09.2010

Danke für deine Versuche, ich saß echt dreißig Minuten vor teilaufgabe b) und wusste nicht weiter!
Und nun ja es ist demotivierend so eine Aufgabe vor sich zu haben und dabei haben wir erst zum virtenmal seit Schulanfang Mathe und wir haben nur eine Wiederholung zum Thema Ableitung gemacht. Und jetzt sowas. Ich meine einfach abtragen kann ich das ja nicht. Ich muss es verstehen und irgendwann wo anderes nochmals umsetzten können.

LG Polstelle
PS:Naja ich bin gezwungener G8er.

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01:13 Uhr, 24.09.2010

13 a)

Da eine Strahlensatzfigur erkennbar ist würde ich es einfach mit dem 2. Strahlensatz zeigen

zu

13 b)

Wie die Steigung der Normalen lautet folgt ja direkt aus

a)

und dann muss man nur noch zeigen, dass die gegebene Normalengleichung den Punkt

(u | f (u))

enthält, was durch Einsetzen von

u

für

x

direkt klar wird.

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13:01 Uhr, 24.09.2010

Dann habe ich nun folgendes heraus für a) & b)

$\frac{a}{b} = \frac{g}{h} \Rightarrow \frac{1}{m 1} = \frac{m 2}{- 1} | * - 1 & * m 2 - 1 (* 1) = m 2 * m 1$

Und somit ist es dann bewiesen. Also wenn das gefordert ist dann war es doch zu einfach um darauf zu kommen.

b) Also eigentlich muss man dann in die steigung -1

$n : y = - 1 (x - u) + f (u) | E i n s e t z t e n v o n u i n x y = - 1 (u - u) + f (u) \Rightarrow y = f (u)$

aber wie soll ich beweißen dass n:y $\neq$ 0 ist. und das diese Normalengleichung zutrifft?

Also ich kann der Aufgabenstellung immer noch nicht folgen. Das eingesetzt werden muss war schon irgendwie klar doch warum und warum ist das ein Beweiß das die Normalengleichung so aussieht?

LG Polstelle

PS: Danke für die Hilfe

BjBot aktiv_icon

13:18 Uhr, 24.09.2010

a)

Ja genau, ich denke schon, dass es so gemeint ist wenn da schon extra ähnliche Dreiecke angedeutet sind.

zu

b)

Naja man soll zeigen, dass die gegebene Geradengleichung einer Gleichung für eine Normale in

P

entspricht.
Und da reicht es zu bestätigen, dass die entsprechende Steigung wegen

a)

direkt folgt und auch

P

auf dieser Geraden liegt. Mehr Anforderungen sind an diese Gleichung ja nicht gestellt und genau diese werden ja offenbar von ihr erfüllt.
Dass

f' (u) \neq 0

gelten muss kann man sich dadurch klarmachen, dass sonst der Nenner bei der Steigung ja null werden würde und das dann genau der Fall wäre, wenn die entsprechende Tangente in

P

eine Parallele zur y-Achse wäre (senkrecht dazu wäre dann eine Parallele zur x-Achse, also eine Gerad mit der Steigung null), und sowas kann es ja nicht geben bei Funktionen, versuche dir mal klar zu machen warum nicht.

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17:07 Uhr, 24.09.2010

Hallo @ all,

nun ich habe jetzt auch die b verstanden und auch warum f'(u) nicht null sein darf.

Ich als Polstelle muss es ja eigentlich wissen was passiert wenn der Nenner null ist nicht war?! Aber nun, denn nur einsetzten, das war's !

Und ich habe mir überlegt warum es keine Parallele zur y-Achse geben kann:

Die Gerade der Tangente besitzt eine Steigung, immer. Und eine Regel die man schon sehr früh lernt, es gibt für jeden x nur einen y wert. Zwei X werte können aber denselben y wert annehmen. (Sag bitte bescheid wenn ich was falsches gesagt habe oder wenn ich deinen unteren Abschnitt falsch verstanden habe.)

Dankeschön euch beiden, ich habe es nun verstanden.

LG eure Polstelle

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21:59 Uhr, 25.11.2010

Alles ist nun beantwortet,

danke

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