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Probleme mit Differenzialrechnung 2

Schüler

Tags: Abschnittsweise definierte Funktion, Funktion

Fuenfviertel

00:44 Uhr, 05.10.2012

Hallo (nochmals) zusammen,

ich habe Probleme mit den folgenden Aufgaben:

Aufgabe 1
Die Gerade g geht durch die beiden Punkte P (3|2) und Q (6|5)
Die Gerade h geht durch den Punkt P (5|-2) und hat die Steigung m = -2

a) Geben Sie die Funktionsgleichungen von g und h an
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden
c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die senkrecht auf g steht und durch den Ursprung im Koordinatensystem geht.

&

Aufgabe 2
Gegeben sind die abschnittsweise definierten Funktionen f und g durch

f (x) = \frac{1}{2} x + 3

für x < 0

f (x) = \frac{1}{2} x - 3

für x≥0

und

g(x)=2−x für x < 0
g(x)=2 für 0≤x≤3
g(x)=2x−4 für x > 3

a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g in zwei Koordinatensysteme
b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen f und g (falls vorhanden)
c) Geben Sie jeweils die Wertebereiche der Funktionen f und g an.

Mein Lösungsvorschlag:

Aufgabe 1:

Ich habe den Graphen zu g mal gezeichnet. Und auch mal versucht, die Funktionsgleichung zu g aufzustellen (Siehe Bild 1), doch wie ich das mit dem Graphen h machen soll weiß ich leider nicht so ganz.
So kann ich dann natürlich auch nicht den Schnittpunkt der beiden Geraden ablesen geschweige denn c) bearbeiten.

Wäre toll wenn Ihr mir da helfen könntet :-)

Zu Aufgabe 2:
Ich habe die Graphen (bis auf g(x) = 2) gezeichnet (Siehe Bild 2 und 3) und auch versucht die Nullstellen zu bestimmen.
Bin mir allerdings alles andere als sicher, ob das so richtig ist. Und wie verhält es sich mit dem Graphen für "g(x) = 2" ?
Außerdem weiß ich nicht so recht, wie ich c) bearbeiten soll. Was ist mit dem "Wertebereich" gemeint?

Zu den Nullstellen:

f (x) = \frac{1}{2} x + 3

Nullstelle(n): x = -6

f (x) = \frac{1}{2} x - 3

Nullstelle(n): x = 6

g(x) = 2 - x
Nullstelle(n): x = 2

g(x) = 2 Leider keine Ahnung

g(x) = 2x - 4
Nullstelle(n): x = 2

Freue mich über Antwort!
=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

prodomo aktiv_icon

10:39 Uhr, 05.10.2012

Wenn du eine Funktionsgleichung aufgestellt hast, kannst du deren Richtigkeit leicht selbst prüfen, indem du die Koordinaten eines Punktes, der gegeben ist, in die Gleichung einsetzt. Dann muss eine wahre Aussage herauskommen. Du hast

g : x \mapsto x + 1

ausgerechnet. Bekannt sind

(3 | 2)

und

(6 | 5)

. Der erste Punkt gibt also

2 = 3 + 1

. Sieht irgendwie falsch aus

...

.
Mit Differenzialrechnung hat das übrigens kaum etwas zu tun, eher mit linearen Zuordnungen aus Klasse 8.
Du hast nur dein Ergebnis angegeben, nicht den ganzen Rechenweg. Die Steigung bei

f

hast du richtig ermittelt. Warum du dann

+ 1

und nicht

- 1

für

b

bekommen hast, kann ich nicht nachvollziehen.

Atlantik aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.10.2012

"Die Gerade

h

geht durch den Punkt

P (5 | - 2)

und hat die Steigung

m = - 2

"

Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung lautet

y = m \cdot x + b

Jetzt hast du

m = - 2

Diesen Wert setzt du nun für

m

ein:

y = - 2 \cdot x + b

Das ist nun eine Schar von Parallelen mit der Steigung

m = - 2

P (5 | - 2)

liegt nun auf einer dieser vielen Parallelen. Also kannst die Koordinatenwerte von

P \in y = - 2 \cdot x + b

einsetzen:

- 2 = - 2 \cdot 5 + b

b = 8

y = - 2 \cdot x + 8

In der Zeichnung siehst du, wie du schnell mit dem Steigungsdreieck an den Graphen kommst.

mfG

Atlantik

Fuenfviertel

20:35 Uhr, 05.10.2012

@Prodomo: Ach mist, da habe ich gestern das b von der x-achse abgelesen...
Natürlich also -1 für b.
Danke für die Korrektur!

@Atlantik:
Danke für Deine Antwort!
Ich kann Dir bis zu dem Punkt folgen, an dem Du b bestimmst. :-P)

Wie kommst du auf b = 8 ???

Atlantik aktiv_icon

22:04 Uhr, 05.10.2012

- 2 = - 2 \cdot 5 + b

- 2 = - 10 + b | + 10

- 2 + 10 = b

b = - 8

mfG

Atlantik

Fuenfviertel

23:36 Uhr, 05.10.2012

Vielen Dank. :-)

Jetzt hab ichs geschnallt.

Nu hab ich die Graphen mal gezeichnet und den Schnittpunkt P(3|2) bestimmt.
Nun also nur noch c) :
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die senkrecht auf g steht und durch den Ursprung im Koordinatensystem geht.

Welche Gerade ist damit gemeint? Muss ich die erst einzeichnen? Oder ist damit h gemeint? Aber die steht doch nich senkrecht auf g und durch den Ursprung geht die auch nicht. ??

Und könnte mir noch wer mit Aufgabe 2 helfen? Bzw. sie sich mal anschauen?

Würde mich freuen :-)

prodomo aktiv_icon

08:11 Uhr, 06.10.2012

Gerade, die senkrecht auf

g

steht und durch den Ursprung geht:
Durch den Ursprung ergibt immer

b = 0

Senkrecht auf

g :

die Steigungen von 2 zueinander senkrechten Geraden ergeben immer das Produkt

- 1

g

hat die Steigung 1. Die Steigung

m

der senkrechten Geraden muss also der Gleichung

1 \cdot m = - 1

gehorchen. Daher muss

m = - 1

sein.
Die Normale zu

g

durch den Ursprung (so nennt man eine Senkrechte) hat die Gleichung

n : y = - 1 \cdot x

oder einfacher

y = - x

. Zeichne sie ein und kontrolliere den Winkel !

Bei

2)

hast du richtige Geraden gezeichnet, aber die Abschnitte nicht berücksichtigt, in dnen die verschiedenen Gleichungen gelten. Offenbar kannst du mit dem Zeichenprogramm keine abschnittsweise definierten Funktionen darstellen. Woran das liegt, ob an fehlenden Kenntnissen oder am Programm, weiß ich natürlich nicht. Eine Gerade

g (x) = 2

besteht nur aus Punkten, deren Hochwert 2 ist, die also alle gleich hoch liegen. Damit ist sie parallel zur x-Achse in der Höhe 2.

Fuenfviertel

20:49 Uhr, 06.10.2012

Vielen Dank für deine Antwort!

Hmm.. Aber so ganz hab ich das leider noch nicht verstanden. O.o

Zu Afg 1.

Wäre klasse wenn Du mir das nochmal mit dem einzeichnen der "Normalen" erklären könntest.

Und zu Afg 2.
Ich glaube ich habs verstanden. Unten mal die beiden Graphen für f und g.

Und zu dem Wertebereich:

Ist also damit gemeint, dass z.B g(x) = 2 der Wertebereich von 0 bis 3 geht??

Abschnittsweise def. Funktion für Aufgabe 1 FX

Abschnittsweise def. Funktion für Aufgabe 1

prodomo aktiv_icon

10:41 Uhr, 07.10.2012

2)

Wertebereich ist die Menge aller y-Werte, nicht aller x-Werte (das wäre der Definitionsbereich). Hier unterschreitet der Graph nirgendwo die Höhe 2. Also

W = {y | y > 2}

.
zu

1)

was ist dir noch unklar ? Das Einzeichnen der Geraden

y = - x

kann es doch nicht sein. Oder geht es darum, dass das Produkt der Steigungen

- 1

ergibt ?

Fuenfviertel

22:52 Uhr, 08.10.2012

Sry, dass ich erst so spät antworte!
Gestern gabs unerwartet plötzlich Probleme mit dem PC...

Wie auch immer, erstmal Danke für deine Antwort.

"Zu 2) Wertebereich ist die Menge aller y-Werte, nicht aller x-Werte (das wäre der Definitionsbereich). Hier unterschreitet der Graph nirgendwo die Höhe 2. Also W={y|y>2}."

Wenn ich das richtig verstanden habe, bezieht sich der Wertebereich "W={y|y>2}" auf die Graphen g(x).

Dann müsste der Wertebereich von den f(x) Graphen von 3 bis -3 gehen oder? Aber wie schreibe ich das?
Vielleicht so: W = {y|y > -3 < 3} ?

Zu Aufgabe 1:
"Gerade, die senkrecht auf g steht und durch den Ursprung geht:
Durch den Ursprung ergibt immer b=0"

Das interpretiere ich so: "Bild 1 unten, rot eingezeichnet"

Und nun einfach die Steigung ermitteln und anschließend mit y = m * x + b die Funktionsgleichung ableiten?

Wäre klasse wenn Du mir noch einmal helfen könntest!

PS: Sind die Nullstellen für Aufgabe 2 so richtig ermittelt? Und die Graphen so richtig gezeichnet?

prodomo aktiv_icon

08:31 Uhr, 09.10.2012

Ja, der Wertebereich bezog sich auf

g (x)

.
Dein Bild und auch deine Lösung zu

f (x)

sind leider falsch. Die gesuchte Gerade sollte durch den Ursprung gehen und auf

g

senkrecht sein. Die zweite Bedingung kann man im Bild eindeutig als nicht erfüllt ablesen. Um das klarzustellen: es handelt sich um eine neue dritte Gerade, die du meinetwegen

j

oder

k

nennen kannst. Deine rot eingetragene Gerade ist erstens keine Gerade (denn dann wäre sie unendlich lang, auch unterhalb des Ursprungs) und sie ist auch nicht senkrecht zu

g

.
Das Bild zu

f

bei

2)

hänge ich an. Wie du siehst, kann

y

alle Werte annehmen, also

W = ℝ

prodomo aktiv_icon

08:34 Uhr, 09.10.2012

Habe gerade gemerkt, dass es bei

\frac{f 1}{2} \cdot x + 3

bzw.

\frac{1}{2} \cdot x - 3

heißen soll. Im ersten Post erscheint bei mir

12 x + 3 ...

. Das Bild ist dann ähnlich, nur längst nicht so steil.

W

bleibt aber.

Fuenfviertel

19:46 Uhr, 09.10.2012

Huch? Wie ist denn das passiert?

Ich bin felsenfest davon überzeugt, im ersten Post die f(x) Graphen richtig abgeschrieben zu haben.
Also

f (x) = \frac{1}{2} + 3

für

x < 0

f (x) = \frac{1}{2} - 3

für

x \geq 0

Hmm..

Wie auch immer. Danke für deine Antwort :-)

Zu Aufgabe 1 :
Hab ich mal überarbeitet. Ist die Gerade "j" so richtig? Und nun nur noch auf dem bekannten Wege die Funktionsgleichung aufstellen oder?

Zu Aufgabe 2 :

Ist mein Lösungsvorschlag für die f(x) Graphen in Aufgabe 2 also falsch?
Weil du schriebst "Das Bild ist dann ähnlich, nur längst nicht so steil." ?

Und wieso fängt der Graph von

f (x) = \frac{1}{2} - 3

für

x \geq 0

bei Dir bei -2,5, und nicht bei -3 an?

Das mit dem Wertebreich hab ich aber glaube ich verstanden. :-)

Vielen dank nochmal für Deine geduldige Hilfe mit mir!

prodomo aktiv_icon

07:39 Uhr, 10.10.2012

Die Gerade

j

ist leider falsch. Sie müsste die Steigung

- 1

haben, also durch den Ursprung und

(- 1 | 1)

laufen. Da du Achsen mit verschiedenem Maßstab benutzt (warum ?) , kann man das

m

schwer erkennen, aber durch den Punkt geht sie nicht.
2)In meinem Bild geht die Gerade durch

- 3,

isr nur schwer abzulesen wegen der Steilheit.

Atlantik aktiv_icon

09:32 Uhr, 10.10.2012

c)

"Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die senkrecht auf

g

steht und durch den Ursprung im Koordinatensystem geht."

Geradengleichung

(g)

\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}

P (3 | 2)

und

Q (6 | 5)

\frac{5 - 2}{6 - 3} = \frac{y - 2}{x - 3}

\frac{y - 2}{x - 3} = 1

y = x - 1

Die Normale zu

g

durch den Ursprung hat die Steigung

m = - 1

\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = m

\frac{y - 0}{x - 0} = - 1

y = - 1 x

y = - x

Graph der Normalen siehe Zeichnung

mfG

Atlantik

Fuenfviertel

23:54 Uhr, 10.10.2012

Vielen Dank für Eure Antworten!

"Da du Achsen mit verschiedenem Maßstab benutzt (warum ?)"

Ich hau mir gleich einen Nagel in den Kopf. Habe mit dem Programm vor ein paar Tagen ein bisschen rumgespielt und vergessen es wieder umzustellen :-D) Aber erst jetzt bemerke ich's...

Aufgabe 1 : Ich hoffe jetzt stimmts endlich. O.o Die Funktionsgleichung die Atlantik netter weise bereits gepostet hat stimmt zumindest mit meinem Graphen(j) überein.

Aufgabe 2 : Ist mein Graph zu f(x) (Bild 2) also doch falsch gewesen?
Aber wenn ich

f (x) : \frac{1}{2} x \pm 3

in einen Funktionsplotter eingebe, zeigt er mir dass die Punkte eigentlich richtig eingezeichnet sein sollten. Nur ist der Graph eben noch nicht abschnittsweise gezeichnet.

Hoffe einmal kann mir noch jemand helfen. Dann sollte ich es doch endlich verstanden haben :-)

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