Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Probleme mit der Partialbruchzerlegung

Probleme mit der Partialbruchzerlegung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

Dotile

Dotile aktiv_icon

20:17 Uhr, 17.02.2015

Antworten

Hallo zusammen,

Ich sitze gerade an einer Partialbruchzerlegung in einem unbestimmten Integral.
Die Aufgabe besagt man soll folgendes Integral mit der Partialbruchzerlegung lösen, doch ich denke ich habe einen Verständnissfehler oder einen Rechenfehler.
Hier mal meine Rechnung und Gedanken: Vielen Dank schon mal für jegliche Hilfe.

\frac{2 x^{2} + 2}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}

Das Integral lass ich hier mal außen vor.
Bei der Partialbruchzerlegung teile ich ja jetzt das Polynom im Nenner erstmal, hier besonders einfach da es sich um eine binomische Formel handelt.

\Leftrightarrow \frac{2 x^{2} + 2}{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}

Der obige Term lässt sich auch in der Form darstellen

\frac{A}{x^{2} - 1} + \frac{B}{x^{2} - 1}

Um nun jetzt A und

B

zu bestimmen multipliziert man die Nenner in der linken Seite folgendes Terms:

\frac{A}{x^{2} - 1} + \frac{B}{x^{2} - 1} = \frac{2 x^{2} + 2}{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}

Man erhält

A (x^{2} - 1) + B (x^{2} - 1) = (2 x^{2} + 2)

.

Als letzten Schritt für die bestimmung von A und

B

muss man nun den Faktor jedes Buchstaben je einmal Nullsetzen und einmal nach dem anderen Buchstaben auflösen.

Also für den Faktor für A gilt

x = 1^{}

. Und es folgt;

2 {(1)}^{2} + 2 = A ({(1)}^{2} - 1) + B ({(1)}^{2} - 1)

\Leftrightarrow 4 = A (0) + B (0)

.

Der Fehler lässt sich vlll schon sehen. Da der Faktor jedes Buchstaben gleich ist sind die Nullstellen folglich auch gleich und das Verfahren um A und

B

zu bestimmen läuft ins Nichts...

Hab ich einen Fehler gemacht oder die Partialbruchzerlegung falsch verstanden?

Viele Grüße und danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

abakus

20:25 Uhr, 17.02.2015

Antworten

Hallo,
du hast den Nenner falsch umgeformt. Es muss (x²+1)² heißen.
Im Zähler solltest du 2 ausklammern und dann kürzen.

Dotile

Dotile aktiv_icon

20:28 Uhr, 17.02.2015

Antworten

Danke für die Antwort!

Ich sehe das Problem: Ich habe den Bruch falsch abgeschrieben, sollte eigentlich

x^{4} - 2 x^{2} + 1

im Nenner sein.

Aber selbst mit

(x + 1)

stoße ich ja später beim bestimmen von A und

B

auf das selbe Problem.

Das mit dem Zähler abearbeiten werde ich probieren. Danke!

Antwort

pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

20:40 Uhr, 17.02.2015

Antworten

Bei Mehrfachnullstellen muss man zusätzlich tun.

Antwort

abakus

20:41 Uhr, 17.02.2015

Antworten

...und (x²-1) lässt sich nochmals faktorisieren...

Dotile

Dotile aktiv_icon

22:20 Uhr, 17.02.2015

Antworten

Ich habe die Aufgabe jetzt gelöst, jedenfalls denke ich es, es lag an der Faktoriesierung des Nenners, diese war nicht eindeutig genug:

\frac{2 x^{2} + 2}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}

\Leftrightarrow \frac{2 x^{2} + 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

\Leftrightarrow \frac{2 x^{2} + 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 = A {(x - 1)}^{2} + B {(x + 1)}^{2}

mit

x = 1

4 = 4 A + 0 \Rightarrow B = 1

mit

x = - 1

4 = 0 + 4 B \Rightarrow A = 1

\Rightarrow \frac{2 x^{2} + 2}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

Setze ich nun die Brüche in ein unbestimtes Integral folgt:

\int (\frac{2 x^{2} + 2}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}) = \int (\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}) + \int (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})

= ln ({(x - 1)}^{2}) + ln ({(x + 1)}^{2})

Stimmt das alles? Danke nochmal für alle die Hilfe dir mirr all das ermöglicht hat!

Antwort

pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

22:34 Uhr, 17.02.2015

Antworten

\frac{2 x^{2} + 2}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{2}} = \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x - 1)^{2}} + \frac{C}{(x + 1)} + \frac{D}{(x + 1)^{2}}

\frac{2 x^{2} + 2}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{2}} = \frac{A (x - 1) (x + 1)^{2}}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{2}} + \frac{B (x + 1)^{2}}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{2}} + \frac{C (x - 1)^{2} (x + 1)}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{2}} + \frac{D (x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{2}}

2 x^{2} + 2 = A (x - 1) (x + 1)^{2} + B (x + 1)^{2} + C (x - 1)^{2} (x + 1) + D (x - 1)^{2}

\dots

Antwort

Respon

23:20 Uhr, 17.02.2015

Antworten

Also wenn es um die Berechnung des Integrals geht

. .

.

\int \frac{2 \cdot x^{2} + 2}{x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 1} d x =

?

\int \frac{2 \cdot x^{2} + 2}{x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{- 2 \cdot x}{x^{2} - 1}

(. .

. und die additive Konstante )

Antwort

pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

05:05 Uhr, 18.02.2015

Antworten

Wenn es um die Berechnung des Integrals geht ...

... gäbe es eine wesentlich flottere Methode dieses zu lösen - ohne PBZ

Antwort

pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

07:04 Uhr, 18.02.2015

Antworten

och nööö

1218334

1218272