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Produkt: Distribution, stetige Funktion

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Distribution, Partielle Differentialgleichungen, stetige Funktion

Froog

20:03 Uhr, 06.11.2019

Hallo,
folgende Aufgabe soll ich lösen

"Zeigen Sie, dass für

f \in C^{\infty} (ℝ)

und

u \in D^{ʹ} (ℝ)

gilt

f u \in D^{ʹ} (ℝ)

."

Ich habe mir dann angeschaut, wie das Produkt einer Funktion mit einer Distribution definiert ist. Es gilt

< f u, Φ > = < u, f Φ >

Das heißt ich muss zeigen, dass

f Φ_{n} \to 0

D^{ʹ} (ℝ)

.
Es gilt, da

Φ_{n} \to 0

(i) \exists K \subset ℝ

mit

s u p p Φ_{n} \subset K

(i i) \forall α \in ℕ_{0}^{n}

lim_{n \to 0} sup_{x \in ℝ} ∣ D^{α} Φ_{n} (x) ∣ = 0

Nun muss ich

(i)

und

(i i)

für

f Φ

zeigen.

(i) s u p p f Φ = \bar{{x \in ℝ ∣ f (x) Φ (x) \neq 0}} = \bar{{x \in ℝ ∣ f (x) \neq 0}} \cup s u p p Φ_{n}

Ich bekomme dann aber

s u p p Φ_{n} \subset s u p p f Φ_{n}

und nicht umgekehrt. Ich sehe nicht, wo ich mich hier geirrt haben könnte. Vielleicht ist das auch der falsche Weg.
Zu

(i i)

könnte man doch einfach die Produktregel anwenden, oder? Aber wie kann ich sie auf diesen Multiindex

α

anwenden.

Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

21:24 Uhr, 06.11.2019

Hallo,

damit

f (x) \cdot Φ (x) \neq 0

ist, muss

f (x) \neq 0

und

Φ (x) \neq 0

sein. Der Träger des Produkts

f \cdot Φ

ist also der Durchschnitt der beiden Träger, auf jeden Fall Teilmenge des Trägers von

Φ

.

Bezüglich der Ableitungen:

D^{α} f \cdot Φ

ist eine endliche Linearkombination von Termen der Form

D^{ν} f \cdot D^{μ} Φ

mit

| ν | + | μ | \leq α

. Alle (endlich vielen ) Ableitungen

D^{ν} f

sind auf dem Träger von

Φ

beschränkt

. .

.

Gruß pwm

Froog

22:20 Uhr, 07.11.2019

Ach ja stimmt Durchschnitt nicht Vereinigung. Vielen Dank

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