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Produkt: Distribution, stetige Funktion

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Distribution, Partielle Differentialgleichungen, stetige Funktion

 
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Froog

Froog

20:03 Uhr, 06.11.2019

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Hallo,
folgende Aufgabe soll ich lösen

"Zeigen Sie, dass für fC() und uDʹ() gilt fuDʹ()."

Ich habe mir dann angeschaut, wie das Produkt einer Funktion mit einer Distribution definiert ist. Es gilt <fu,Φ>=<u,fΦ>

Das heißt ich muss zeigen, dass fΦn0 in Dʹ().
Es gilt, da Φn0

(i)K mit suppΦnK
(ii)α0n: limn0supxDαΦn(x)=0


Nun muss ich (i) und (ii) für fΦ zeigen.
(i)suppfΦ={xf(x)Φ(x)0}¯={xf(x)0}¯suppΦn
Ich bekomme dann aber suppΦnsuppfΦn und nicht umgekehrt. Ich sehe nicht, wo ich mich hier geirrt haben könnte. Vielleicht ist das auch der falsche Weg.
Zu (ii) könnte man doch einfach die Produktregel anwenden, oder? Aber wie kann ich sie auf diesen Multiindex α anwenden.

Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

21:24 Uhr, 06.11.2019

Antworten
Hallo,

damit f(x)Φ(x)0 ist, muss f(x)0 und Φ(x)0 sein. Der Träger des Produkts fΦ ist also der Durchschnitt der beiden Träger, auf jeden Fall Teilmenge des Trägers von Φ.

Bezüglich der Ableitungen: DαfΦ ist eine endliche Linearkombination von Termen der Form DνfDμΦ mit |ν|+|μ|α. Alle (endlich vielen ) Ableitungen Dνf sind auf dem Träger von Φ beschränkt ...

Gruß pwm
Frage beantwortet
Froog

Froog

22:20 Uhr, 07.11.2019

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Ach ja stimmt Durchschnitt nicht Vereinigung. Vielen Dank