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Produkt aus Bézoutkoeffizienten kleinstes Element

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Bézoutkoeffizienten, Euklidischer Algorithmus, Teilbarkeit

 
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anonymous

anonymous

14:04 Uhr, 19.11.2018

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Hallo,

ich komme bei der Aufgabe a), die ich hier im Anhang gepostet habe nicht so ganz weiter.
Also ich weiß, dass der ggT Definitionsgemäß eindeutig ist und das sich der ggT auch mithilfe der Bézoutkoeffizienten m und m darstellen lässt, so das gilt: d=ma+nb

Kann man da vielleicht irgendwie mit der Eindeutigkeit argumentieren? Wenn d=(a,b) eindeutig ist, bedeutet das doch, dass es ganz genau eine Natürliche Zahl gibt, welche die Eigenschaft d=ma+nb erfüllt. Und somit kann es keine kleineres Element in d geben, das diese Eigenschaft erfüllt, oder?

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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HAL9000

HAL9000

14:46 Uhr, 19.11.2018

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Mit d=ggT(a,b) existieren ja ganze Zahlen aʹ,bʹ mit a=daʹ und b=dbʹ, folglich ist ma+nb=d(maʹ+nbʹ) stets ein Vielfaches von d. Dass d selbst in der Menge liegt, folgt gemäß Bézout. Ein kleineres positives Vielfaches von d als d gibt es aber nicht, damit ist die Aussage insgesamt bewiesen.

P.S.: Die Überschrift ist komplett daneben: Unter Bézout-Koeffizienten würde ich die Werte m,n verstehen. Um deren Produkt geht es hier aber in keinster Weise.
anonymous

anonymous

20:13 Uhr, 19.11.2018

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Hi,

tut mir leid, mir ist kein wirklich prägnanter Titel eingefallen.
Wieso ist ma+nb=d(ma'+nb')?
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HAL9000

HAL9000

13:49 Uhr, 20.11.2018

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Einfach einsetzen und ausklammern (d.h. Distributivgesetz) !!! a=daʹ und b=dbʹ eingesetzt und umgeformt ergibt sich nun mal

ma+nb=mdaʹ+ndbʹ=dmaʹ+dnbʹ=d(maʹ+nbʹ),

einfacher kann ich es nicht erklären.
anonymous

anonymous

23:04 Uhr, 20.11.2018

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Ahh, logisch ok. Stand etwas auf dem Schlauch, Sorry!

Kann man das auch so aufschreiben?

Sei X ={ma + nb:m,n in Z}∩N

Seien a,b∈N und sei d=ggT(a,b)

Z.Z.:d ist das kleinste Element der Menge X

Es gilt:
d=(a,b)⇒∃m',n'∈Z:m'a+n'b=d

m'a+n'b∈N⇒m'a+n'b∈X

d|d⇒d=1⋅d=1⋅(m'a+n'b)
d ist also das größte pos. Vielfache von m'a+n'b

Folglich ist d das kleinste Element der Menge X
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HAL9000

HAL9000

12:56 Uhr, 21.11.2018

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"Größte positive Vielfache" ? Sowas gibt es gar nicht.

Ich blicke insgesamt nicht durch, inwieweit die letzten drei Zeilen zum Beweis beitragen sollen. Bis dahin stehen wir erstmal bei der Erkenntnis d∈X, nachzuweisen ist aber d=minX. Ich hatte das oben getan, indem ich zusätzlich nachgewiesen hatte, dass d∣t für alle t∈X gilt - was hingegen dein Plan ist, erkenne ich nicht.
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