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Produkt aus zwei geraden Zahlen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Parität, Term aufstellen, Termumformung

mina2410 aktiv_icon

12:05 Uhr, 18.11.2009

Hallo,

ich bin nicht gerade gut in Mathe, kommt immer auf das Thema an.
Ich muss drei Terme aufstellen und beweisen:

1 .)

Das Produkt aus zwei geraden Zahlen ist gerade.

2 .)

Das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen ist ungerade

3 .)

Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.

Lösung:

Ich habe gedacht ich könnte mit

n

und

k

rechnen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

12:14 Uhr, 18.11.2009

Eine gerade Zahl stellst du so dar:

2 \cdot n

Eine andere gerade Zahl so:

2 \cdot m

so ist:

(2 \cdot n) \cdot (2 \cdot m) = 4 \cdot n \cdot m = 2 \cdot 2 \cdot n \cdot m = 2 \cdot (2 \cdot n \cdot m)

Wenn wir also voraussetzen, das eine belibige natürliche Zahl mit 2 multipliziert gerade ist, so ist auch das Produkt aus 2 beliebigen geraden Zahlen positiv, da

2 \cdot (2 \cdot n \cdot m)

ebenfalls ein mit 2 multipliziertenatürliche Zahl

(2 \cdot n \cdot m)

ist.

...und das mit der 2 kannst du gut per Induktion beweisen, falls denn noch nötig und vollständig sein sollte.

;-)

mina2410 aktiv_icon

13:16 Uhr, 18.11.2009

Ok, danke für die Antwort.

Wäre es für Aufg.

2 .)

so richtig:

(2 n - 1) \cdot (2 m - 1)

??

weil

n

und

m

sind gerade Zahlen und wenn ich 1 von ihnen abziehe, habe ich eine ungerade Zahl...

anonymous

13:19 Uhr, 18.11.2009

Ja, sieht gut aus. Nur sind nicht

n

und

m

die geraden Zahlen, sondern

2 n

und

2 m

;-)

Gruß

Edddi aktiv_icon

13:24 Uhr, 18.11.2009

...nö...

n

und

m

sind Element

N

(somit also eine beliebige nat. Zahl)

2 n

bzw.

2 m

sind immer gerade Zahlen.

2 n + 1

oder

2 m + 1

sind immer ungerade Zahlen.

Ungerade

\cdot

Gerade sieht also so aus:

2 n \cdot (2 m + 1) = 2 \cdot (n \cdot (m + 1))

Der Term

(n \cdot (m + 1))

eine beliebige nat. Zahl dar (hier sogar immer eine ungerade), durch mulktiplikation mit 2 ist der gesamte Term gerade.

Die Letzte:

(2 n + 1) \cdot (2 m + 1) = 2 n \cdot 2 m + 2 m + 2 n + 1 = 2 \cdot (2 \cdot n \cdot m + m + n) + 1

2 \cdot (2 \cdot n \cdot m + m + n)

gerde ist (siehe oben) ist

2 \cdot (2 \cdot n \cdot m + m + n) + 1

eben ungerade.

;-)

anonymous

14:54 Uhr, 18.11.2009

Doch ;-), denn du, Eddie, hast jetzt Nr 2 und 3 vertauscht.

Außerdem schreibst du, dass:

"Ungerade

\cdot

Gerade sieht also so aus:

2 n \cdot (2 m + 1) = 2 \cdot (n \cdot (m + 1))

"

Aber:

"Ungerade

\cdot

Gerade" sieht genau genommen andersrum aus, nämlich

(2 m + 1) \cdot (2 n)

. Schlimmer ist allerdings deine Zusammenfassung, denn:

(2 m + 1) \cdot (2 n) = 4 n \cdot m + 2 n = 2 (2 n \cdot m + n),

bzw.:

2 (2 n \cdot m + n) = 2 \cdot (n \cdot (2 m + 1)) \neq 2 \cdot (n \cdot (m + 1))

VOR dem bzw. kann man schon auf deine Weise zeigen, dass die Zahl gerade ist. Weitere Umformungen sind nicht nötig, sollten aber richtig sein ;-)

Schließlich beschreibt "

n \cdot (m + 1)

NICHT immer eine ungerade Zahl", etwa

4 \cdot (1 + 1) = 8

ist gerade.

Gruß

Edddi aktiv_icon

15:58 Uhr, 18.11.2009

...sorry...da war ich wohl mit tippen schneller wie mit dem Kopf...

...ich könnt' ja auch behaupten, ich schrieb's extra so, damit der Fragesteller es auch kontrollieren muss...hihi...

;-)

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