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Produkt-sigma-Algebra + Messbarkeit

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

sabsi

09:49 Uhr, 25.10.2023

Hi,

Ich habe folgendes Problem:

Seien

(S, A), (S, A^{ʹ})

messbare Räume,

φ, ψ, ξ : S \to S^{ʹ}

seien A-A'-messbare Abbildungen und sei

D = {(x, y) \in S^{ʹ} \times S^{ʹ} : x = y} \in A \otimes A^{ʹ}

. Zeigen sie

{ψ = ξ} \in A

und folgern Sie, dass der Graph von

φ

messbar bezüglich der Produkt

σ -

Algebra ist, d.h

{(x, y) \in S \times S^{ʹ} : y = φ (x)} \in A \otimes A^{ʹ}

---------------------------------------------
um ehrlich zu sein habe ich grad mehr Fragen als Ansätze ...

- Wozu brauche ich

ψ

und

ξ

überhaupt?

-Wenn D eine Menge aus Paaren mit 2 Elementen aus S' ist.. wie kann das dann in

A \otimes A^{ʹ}

sein

- Kann mir bitte jemand beim Start helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

10:18 Uhr, 25.10.2023

> Wenn

D

eine Menge aus Paaren mit 2 Elementen aus

S ʹ

ist.. wie kann das dann in

A \otimes A'

sein?

Ist mir auch aufgefallen. Vermutlich ein Schreibfehler, d.h., es sollte besser

D \in A ʹ \otimes A ʹ

heißen.

> Wozu brauche ich

ψ

und

ξ

überhaupt?

Na für die nachzuweisende Aussage

{ψ = ξ} \in A

. Dabei ist das links eine Kurzschreibweise für

{a \in A : ψ (a) = ξ (a)}

, wenn dir das vorher schon klar war, umso besser.

sabsi

09:48 Uhr, 02.11.2023

Sooo habe mir das ganze ein wenig durch den Kopf gehen lassen.

D lässt sich ja auf eindeutige Weise wie folgt darstellen:

D = \cup_{x \in S ʹ} {x} \times {x}

{ψ = ξ} = {a \in S ∣ ψ (a) = ξ (a)} \in A

weil das messbare Abbildungen sind.

Aber wie komme ich von diesen beiden nun zu einer Aussage über den Graphen?

HAL9000

10:15 Uhr, 02.11.2023

Wenn

ψ, ξ

beides messbare Abbildungen

(S, A) \to (S ´, A ´)

sind, dann ist laut Definition

s \mapsto (ψ (s), ξ (s)) = : ν (s)

eine messbare Abbildung

ν : (S, A) \to (S ´ \times S ´, A ´ \otimes A ´)

.

D.h., für jede Menge

B \in A ´ \otimes A ´

gilt dann

ν^{- 1} (B) \in A

. Wenn wir das speziell auf

B = D

anwenden, was gemäß Voraussetzung ja in

A ´ \otimes A ´

liegt, bekommen wir

ν^{- 1} (D) = {s \in S : (ψ (s), ξ (s)) \in D} \overset{!!!}{=} {s \in S : ψ (s) = ξ (s)}

,

und letzteres ist nichts weiter als die Langform von

{ψ = ξ}

. In dem Zusammenhang fällt mir auf, dass ich da in meinem letzten Beitrag in der letzten Zeile einen Fehler hatte: Dort muss es

a \in S

statt

a \in A

heißen, Entschuldigung.

sabsi

12:05 Uhr, 02.11.2023

Danke, das war eine gute Herleitung für

\ {\ p s i = \ x i \} \ i n A

. Jetzt ist mir das klar.

Nun muss man im letzten Schritt noch die

A - A^' -

messbare Funktion

\ p h i

verwenden um zu zeigen dass der Graph

\ {(x, y) \ i n S \ t i m e s S^' : y = \ p h i (x) \} \ i n A \ t i m e s A^'

liegt

Dann kann ich hier das eben gezeigt

D \ i n A^' \ t i m e s A^'

wie folgt verwenden:

Da

\ p h i

eine messbare Abbildung

(S, A) \ t o (S^', A^')

dann ist

(s, t) \ m a p s t o (\ p h i (s), t) : = v (s, t)

eine messbare Abbildung

v : (S \ t i m e s S^', A \ t i m e s A^') \ t o (S^' \ t i m e s S^', A^' \ t i m e s A^')

Da nun D eine messbare Menge in

A^' \ t i m e s A^'

ist muss auch

v^{- 1} (D)

messbar in

A \ t i m e s A^'

sein.

und

v^{- 1} (D) = \ {(x, y) \ i n S \ t i m e s S^' : y = \ p h i (x) \}

Würde das so gehen? oder hab ich wo einen Denkfehler?

HAL9000

12:27 Uhr, 02.11.2023

Ja, sieht gut aus, abgesehen davon, dass irgendwas mit dem LaTeX wohl geklemmt hat.

Übrigens wird

A \otimes A ´

mit \otimes statt \times geschrieben.

sabsi

12:32 Uhr, 02.11.2023

ja das mit LateX hab ich auch gemerkt, aber nicht gefixed bekommen ...

Danke für die Hilfe!!

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