Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Produkt von n Zahlen = 1, Summe >= n - Beweis

Produkt von n Zahlen = 1, Summe >= n - Beweis

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges, Vollständige Induktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
thomasdotnet

thomasdotnet aktiv_icon

11:20 Uhr, 07.07.2009

Antworten
Hallo!

Ich soll folgenden Beweis mit vollständiger Induktion führen.
Für alle n gilt, dass für n reele Zahlen, deren Produkt 1 ist, deren Summe größer oder gleich n ist.

Kann mir jemand dabei helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

19:48 Uhr, 08.07.2009

Antworten
Hm, n=2:

(-2)⋅(-0,5)=1

aber

(-2)+(-0,5)=-2,5<2


GRUSS, DK2ZA
Frage beantwortet
thomasdotnet

thomasdotnet aktiv_icon

23:44 Uhr, 08.07.2009

Antworten
Es stand zwar nicht in meiner Angabe, aber es stimmt, die Zahlen müssen positiv sein, damit es funktioniert. Danke für den Hinweis!

Ich bin mittlerweile durch ein anderes Forum auf die Lösung gekommen:

Wir wollen also beweisen, dass wenn das Produkt x1⋅x2⋅...⋅xn=1 die Summe x1+x2+...+xn≥n.

Induktionsanfang: Für n=1 stimmt die Annahme.

Induktionsannahme:
x1+x2+...+xn≥n

Induktionsschritt:
Wenn alle xi=1 sind, ist das Ganze klar und wir sind fertig.
Wenn nicht alle xi=1 sind, muss es mindestens ein xi geben, dass größer als 1 ist (wir nennen es x1) und eines, dass kleiner als 1 ist (wir nennen es x2)- sonst wäre das Produkt ja nicht 1.

Es gilt also: (1-x1)<0 und (1-x2)>0 und daher auch
(1-x1)⋅(1-x2)<0
Nun multiplizieren wir die linke Seite aus:
1-x2-x1+x1x2<0
Wir formen um und erhalten
1+x1x2<x1+x2

Diese Erkenntnis verwenden wir nun in der folgenden Gleichung:
x1+x2+...+xn+xn+1=x1+x2+...+xn+xn+1
Wir ersetzen auf der rechten Seite x1+x2 mit 1+x1x2 und erhalten die Ungleichung
x1+x2+...+xn+xn+1≥1+x1x2+x3+...+xn+xn+1
Jetzt stehen rechts aber nur mehr n Summanden (die 1 nicht mitgerechnet), was laut unserer Induktionsannahme ≥n ist. Das Ganze +1 ist daher sicher ≥n+1 und da die linke Seite sicher mindestens genauso groß ist, ist der Beweis nun vollständig.

Sollte es jemanden interessieren, der Beweis ist von dem Beweis der AM-GM Inequality aus dem Appendix A des Buchs "When least is best" von Paul J. Nahin abgekupfert - books.google.com/books?id=vPa7YXLjMisC&lpg=PA13&ots=Qxf0PyMpve&dq=am-gm%20proof%20by%20mathematical%20induction&pg=PA331
Frage beantwortet
thomasdotnet

thomasdotnet aktiv_icon

23:45 Uhr, 08.07.2009

Antworten
Es stand zwar nicht in meiner Angabe, aber es stimmt, die Zahlen müssen positiv sein, damit es funktioniert. Danke für den Hinweis!

Ich bin mittlerweile durch ein anderes Forum auf die Lösung gekommen:

Wir wollen also beweisen, dass wenn das Produkt x1⋅x2⋅...⋅xn=1 die Summe x1+x2+...+xn≥n.

Induktionsanfang: Für n=1 stimmt die Annahme.

Induktionsannahme:
x1+x2+...+xn≥n

Induktionsschritt:
Wenn alle xi=1 sind, ist das Ganze klar und wir sind fertig.
Wenn nicht alle xi=1 sind, muss es mindestens ein xi geben, dass größer als 1 ist (wir nennen es x1) und eines, dass kleiner als 1 ist (wir nennen es x2)- sonst wäre das Produkt ja nicht 1.

Es gilt also: (1-x1)<0 und (1-x2)>0 und daher auch
(1-x1)⋅(1-x2)<0
Nun multiplizieren wir die linke Seite aus:
1-x2-x1+x1x2<0
Wir formen um und erhalten
1+x1x2<x1+x2

Diese Erkenntnis verwenden wir nun in der folgenden Gleichung:
x1+x2+...+xn+xn+1=x1+x2+...+xn+xn+1
Wir ersetzen auf der rechten Seite x1+x2 mit 1+x1x2 und erhalten die Ungleichung
x1+x2+...+xn+xn+1≥1+x1x2+x3+...+xn+xn+1
Jetzt stehen rechts aber nur mehr n Summanden (die 1 nicht mitgerechnet), was laut unserer Induktionsannahme ≥n ist. Das Ganze +1 ist daher sicher ≥n+1 und da die linke Seite sicher mindestens genauso groß ist, ist der Beweis nun vollständig.

Sollte es jemanden interessieren, der Beweis ist von dem Beweis der AM-GM Inequality aus dem Appendix A des Buchs "When least is best" von Paul J. Nahin abgekupfert - books.google.com/books?id=vPa7YXLjMisC&lpg=PA13&ots=Qxf0PyMpve&dq=am-gm%20proof%20by%20mathematical%20induction&pg=PA331
Frage beantwortet
thomasdotnet

thomasdotnet aktiv_icon

23:46 Uhr, 08.07.2009

Antworten
Es stand zwar nicht in meiner Angabe, aber es stimmt, die Zahlen müssen positiv sein, damit es funktioniert. Danke für den Hinweis!

Ich bin mittlerweile durch ein anderes Forum auf die Lösung gekommen:

Wir wollen also beweisen, dass wenn das Produkt x1⋅x2⋅...⋅xn=1 die Summe x1+x2+...+xn≥n.

Induktionsanfang: Für n=1 stimmt die Annahme.

Induktionsannahme:
x1+x2+...+xn≥n

Induktionsschritt:
Wenn alle xi=1 sind, ist das Ganze klar und wir sind fertig.
Wenn nicht alle xi=1 sind, muss es mindestens ein xi geben, dass größer als 1 ist (wir nennen es x1) und eines, dass kleiner als 1 ist (wir nennen es x2)- sonst wäre das Produkt ja nicht 1.

Es gilt also: (1-x1)<0 und (1-x2)>0 und daher auch
(1-x1)⋅(1-x2)<0
Nun multiplizieren wir die linke Seite aus:
1-x2-x1+x1x2<0
Wir formen um und erhalten
1+x1x2<x1+x2

Diese Erkenntnis verwenden wir nun in der folgenden Gleichung:
x1+x2+...+xn+xn+1=x1+x2+...+xn+xn+1
Wir ersetzen auf der rechten Seite x1+x2 mit 1+x1x2 und erhalten die Ungleichung
x1+x2+...+xn+xn+1≥1+x1x2+x3+...+xn+xn+1
Jetzt stehen rechts aber nur mehr n Summanden (die 1 nicht mitgerechnet), was laut unserer Induktionsannahme ≥n ist. Das Ganze +1 ist daher sicher ≥n+1 und da die linke Seite sicher mindestens genauso groß ist, ist der Beweis nun vollständig.

Sollte es jemanden interessieren, der Beweis ist von dem Beweis der AM-GM Inequality aus dem Appendix A des Buchs "When least is best" von Paul J. Nahin (habe ich bei Google Books gefunden) abgekupfert.
Antwort
DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

07:25 Uhr, 09.07.2009

Antworten
Danke für den Tipp zu dem hübschen Beweis. Wenn man nur selbst darauf kommen könnte!


GRUSS, DK2ZA
Antwort
pepe1

pepe1 aktiv_icon

13:50 Uhr, 09.07.2009

Antworten
Gerade, als ich "Danke" sagen will, bemerkte ich, daß der Schreiber vor mir offensichtlich dasselbe schon vorhatte.

Nichtsdestoweniger nochmals:

Danke, daß Du Dir die Mühe gemacht hast, den eleganten Beweis hier zu bringen und einen Hinweis auf das Buch von Paul J. Nahin gegeben hast.

Das wäre sehr wünschenswert, wenn man hier öfter so etwas finden könnte.

( Das Buch kannte ich nicht und habe es mir bestellt; die Beweisidee kannte ich aus einem anderen Buch.)


Alles Gute