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Produkt zweier Vektorräume

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Vektorraum, Verknüpfung

Nels_ aktiv_icon

09:48 Uhr, 19.10.2019

Guten Tag, ich weiss bei der folgenden Aufgabe nicht recht wo ich anfangen soll und wie ich vorgehen soll.
Die Frage lautet:
"Seien

V

und

W

Vektorräume über K. zeigen Sie, dass das direkte Produkt

V \times W

durch die Verknüpfungen

(v, w) + (v' + w') := (v + v', w + w'), λ \cdot (v, w) := (λ \cdot v, λ \cdot w),

ebenfalls zu einem Vektorraum über

K

wird.

Vielen Dank schon im voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

09:54 Uhr, 19.10.2019

Hallo,
du musst einfach die Vektorraumaxiome überprüfen.
Ist viel Schreibarbeit und langweilig, aber nicht schwierig.
Gruß ermanus

Nels_ aktiv_icon

10:13 Uhr, 19.10.2019

Wie soll ich die überprüfen, ich hänge bisschen fest...

ermanus aktiv_icon

10:22 Uhr, 19.10.2019

Hier als Beispiel die Assoziativität der Addition:

((v_{1}, w_{1}) + (v_{2}, w_{2})) + (v_{3}, w_{3}) = (v_{1} + v_{2}, w_{1} + w_{2}) + (v_{3}, w_{3}) = ((v_{1} + v_{2}) + v_{3}, (w_{1} + w_{2}) + w_{3})

Da die Addirtion in

V

und

W

assoziativ ist, ist dies

= (v_{1} + (v_{2} + v_{3}), w_{1} + (w_{2} + w_{3})) = (v_{1}, w_{1}) + (v_{2} + v_{3}, w_{2} + w_{3}) = (v_{1}, w_{1}) + ((v_{2}, w_{2}) + (v_{3}, w_{3}))

,

d.h. die Gültigkeit der jeweiligen Regel wird auf die Gültigkeit dieser
Regel in den Komponenten-Vektorräumen zurückgeführt.

Viel Spaß bei der Fleißarbeit ;-)

Gruß ermanus

Nels_ aktiv_icon

14:19 Uhr, 19.10.2019

Achso, dann muss ich noch aufs neutrale Element, inverses Element, Kommutativität ...etc. überprüfen?

ermanus aktiv_icon

15:39 Uhr, 19.10.2019

Ja, das musst du, z.B. da

0 \in V, 0 \in W

neutrale Elementebbzgl. + sind, betrachten wir

(0, 0)

. Das ist offenbar das neutrale Element von

(V \times W, +)

,
entsprechend Inverses bzgl. +.
Die Multiplikation mit Skalaren musst du leider mit allen ihren Regeln ebenfalls
unter die Lupe nehmen. Wie gesagt, stinklangweilig, aber aufwendig ...

Nels_ aktiv_icon

10:32 Uhr, 20.10.2019

Super Vielen Dank :-)

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