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Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

 
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xardas

xardas aktiv_icon

12:47 Uhr, 14.05.2010

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Hi, ich würde gerne folgenden Satz beweisen:
Das Produkt zweier stetiger Funktionen ist wieder stetig.

Kann mir dafür jemand einen allgemeinen Beweis liefern, wäre sehr dankbar.

Mfg :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

13:48 Uhr, 14.05.2010

Antworten

Sei ε>0 gegeben
Dann gibt es C>0 und δ>0 mit
|f(x)|<C
|g(x+h)|<C für |h|<δ
|f(x+h)-f(x)|<ε2 C)für |h|<δ
|g(x+h)-g(x)|<ε2 C)für |h|<δ

Dann ergibt sich für |h<δ
|f(x+h)⋅g(x+h)-f(x)⋅g(x)|
=|(f(x+h)-f(x))⋅g(x+h)+f(x)⋅(g(x+h)-g(x))|
≤|(f(x+h)-f(x))⋅g(x+h)|+|f(x)⋅(g(x+h)-g(x))|
≤|f(x+h)-f(x)|⋅|g(x+h)|+|f(x)||g(x+h)-g(x)|
<ε
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