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Produkt zweier top. Räume zusammenhängend?

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie, Produkttoplogie, Topologische Räume, zusammenhängend

einspluszwei aktiv_icon

09:38 Uhr, 09.10.2018

Hallo,

folgende Aufgabenstellung liegt vor:

Es seien

(X,

Ox) und

(Y,

Oy ) zusammenhängende topologische Räume. Zeige, daß auch

X

Y

(bezüglich der Produkttopologie) zusammenhängend ist.

Kann mir jemand den Grundstock des Beweises aufzeigen bzw den Beweis skizzieren. Würde gerne ähnliche Aufgaben bearbeiten, hierbei hilft mir persönlich immer wenn ich eine Art Muster habe.

Danke und viele Grüße,
einspluszwei

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

12:16 Uhr, 09.10.2018

Hallo,
hier schon mal ein Anfang:
Man kann sich leicht überlegen oder wissen,
dass ein topologischer Raum

Z

zusammenhängend ist
genau dann, wenn jede stetige Funktion

f : Z \to {1, 2}

in den diskreten Raum

{1, 2}

konstant ist.
Sei nun

Z = X \times Y

und

f

eine solche stetige Funktion.
Man beweise also, dass

f

konstant ist.
OBdA. nehmen wir an, dass

f^{- 1} ({1}) \neq \emptyset

gilt.
Dann muss gezeigt werden, dass

f (x, y) = 1

für alle

(x, y) \in X \times Y

gilt.
Sei nun

(x_{1}, y_{1}) \in f^{- 1} ({1})

.
Wir betrachten die Mengen

{x_{1}} \times Y

und

X \times {y_{1}}

.
Diese sind homöomorph zu

Y

bzw.

X

.
Da

X

und

Y

zusammenhängend sind,
sind dann auch

{x_{1}} \times Y

und

X \times {y_{1}}

zusammenhängend,

f

muss also auf diesen beiden Mengen konstant sein.
Da

(x_{1}, y_{1})

ihnen beiden angehört, nimmt also

f

auf

A (x_{1}, y_{1}) := {x_{1}} \times Y \cup X \times {y_{1}}

konstant den Wert

1

an.
Jetzt nimm dir einen beliebigen Punkt

(x_{2}, y_{2}) \in X \times Y

her
und versuche zu zeigen, dass

A (x_{1}, y_{1}) \cap A (x_{2}, y_{2}) \neq \emptyset

ist ...
Ich habe diese Mengen

A (., .)

genannt, weil sie z.B. im

ℝ \times ℝ

wie verschobene Achsenkreuze aussehen.

Mal sehen, wie weit du nun kommst ;-)

Gruß ermanus

EDIT: habe die Urbildmengen korrekter bezeichnet.

einspluszwei aktiv_icon

11:08 Uhr, 11.10.2018

Hallo,
danke schon mal, hatte leider etwas wenig Zeit die letzten Tage.

Das mit der Konstanz sehe ich ein. Aber warum ist die Funktion

f

nun konstant genau mit Wert 1?

Bist du dir sicher, dass weiter die Ungleichheit anstatt der Gleichheit gezeigt werden muss?
Soweit ich das kenne bedeutet zusammenhängend in etwa folgendes:
Für

(X, O_{x})

und

O_{1}, O_{2} \in O

gilt:

O_{1} \neq \emptyset \neq O_{2}, O_{1} \cap O_{2} = \emptyset

und

O_{1} \cup O_{2} \neq X

Danke und viele Grüße
einpluszwei

ermanus aktiv_icon

11:17 Uhr, 11.10.2018

Hallo,
ich nehme doch an, dass

f

eine stetige Funktion

X \times Y

in die
diskrete Menge

{1, 2}

ist, d.h. dass

f

entweder in einem Punkt

(x_{1}, y_{1})

den Wert

1

oder den Wert

2

annimmt. Ob nun

1

oder

2

,
ist dabei ganz unwesentlich. Wenn ich nun zeige, dass die Funktion
auf ganz

X \times Y

denselben Wert annimmt, dann ist

X \times Y

zusammenhängend. Ob dieser konstante Wert nun 1 heißt oder 2 heißt
spielt dabei gar keine Rolle. Deswegen habe ich "oBdA = ohne Beschränkung
der Allgemeinheit" geschrieben.
Mir ist nicht klar, wo dein Verständnisproblem liegt.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:44 Uhr, 11.10.2018

Ist dir vielleicht die Gültigkeit des Satzes:

Z

zusammenhängend

\overset{}{\Leftrightarrow}

jede stetige Abbildung

f : Z \to {1, 2}

ist konstant

nicht klar?

einspluszwei aktiv_icon

16:56 Uhr, 11.10.2018

Diese Gültigkeit ist mir bekannt, ich denke nun habe ich deine Argumentation auch verstanden.

Wenn ich nun zeige, dass

A (x_{1}, y_{1}) \cap A (x_{2}, y_{2}) \neq \emptyset

gilt, folgt dann draus, dass auch

(x_{2}, y_{2})

auf den konstanten Wert abgebildet wird?
Folgt draus dann bereits, dass allgemein

X

Y

zusammenhängend ist?

Gruß einspluszwei

ermanus aktiv_icon

17:33 Uhr, 11.10.2018

Ja; denn dann gilt ja, da

(x_{2}, y_{2})

beliebig war:

f (x_{2}, y_{2}) = f (x_{1}, y_{1}) \forall (x_{2}, y_{2}) \in X \times Y

,
d.h. die beliebig angesetzte stetige Funktion

f : X \times Y \to {1, 2}

nimmt überall denselben Wert an, ist also konstant. Und da

f

beliebig war,
ist damit jede stetige Funktion

X \times Y \to {1, 2}

konstant
und wegen des besagten Satzes folglich

X \times Y

zusammenhängend.

einspluszwei aktiv_icon

20:07 Uhr, 11.10.2018

Nun, vielen Dank für die Hilfestellung und Anleitung!

Gruß
Einspluszwei

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