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Produktdarstellung

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Funktionen

Tags: Funktion

georg-b aktiv_icon

18:49 Uhr, 20.10.2009

Hallo, würde euch gerne um hilfe bitten. Hab ein beispiel bekommen, und verstehe nicht was ich tun muss...

Sie verlangen die produktdarstellung und die nullstellen vom polynom:

p (x) = 5 x^{2} - 6 x + 2

Also das mit der Produktdarstellung verstehe ich überhaupt nicht, weiß nicht was ich da tun muss. Die nullstellen hab ich versucht zu berechnen mit der großen lösungsformel, aber da komm ich auch nicht weiter...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

19:07 Uhr, 20.10.2009

Das liegt daran, dass p(x)=5x^2-6x+2 keine Nullstellen besitzt und sich somit auch nicht in ein Produkt zerlegen lässt. (Zumindest nicht im Bereich der reellen Zahlen.)

Folgende Möglichkeiten wären denkbar:
- Deine Angabe ist falsch. (Falsch bekommen oder abgeschrieben.)
- Du hast dich vertippt.
- Du sollst zum Schluss kommen, dass diese Aufgabe keine Lösung besitzt (zumindest im reellen Bereich).
- Du sollst im imaginären Bereich weiterrechnen.

Wobei ich die beiden letzten Möglichkeiten für eher unwahrscheinlich halte.

georg-b aktiv_icon

19:11 Uhr, 20.10.2009

Und wie sieht es aus im komplexen bereich? weil es steht dass sie ggf. eine komplexe produktdarstellung wollen...

anonymous

19:15 Uhr, 20.10.2009

Nun dann sieht das ganze schon anders aus.
Schreibe doch mal wie weit du beim Errechnen der Nullstellen mittels der Lösungsformel kommst.

georg-b aktiv_icon

19:18 Uhr, 20.10.2009

Naja, ich bekomme schon eine negative Diskriminante, aus der ich schließen kann, dass ich keine reelle lösungen habe...
aber weiter weiß ich nicht

: (

anonymous

19:34 Uhr, 20.10.2009

Hast du nur die Diskriminante errechnet, oder auch wirklich in die Formel eingesetzt?
Wenn du eingesetzt hast müsstest du doch zumindest soweit kommen:

x_{1, 2} \frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{- 4}}{10}

Weiter geht es dann ganz einfach:

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \Rightarrow \sqrt{- 4} = \sqrt{- 1 \cdot 4} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4} = 2 \sqrt{- 1}

\Rightarrow x_{1, 2} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 1}}{10}

Aufgrund der Definition von

i

kannst du nun einfach

\sqrt{- 1}

durch

i

ersetzen:

x_{1, 2} = \frac{6 \pm 2 i}{10} = 0.6 \pm 0.2 i

x_{1} = 0.6 - 0.2 i x_{2} = 0.6 + 0.2 i

Soweit verstanden?

georg-b aktiv_icon

19:38 Uhr, 20.10.2009

Super, danke vielmals!

Die diskriminante hab ich auch errechnet, habe auch

- 4

unter der wurzel bekommen, nur das hat mich halt verwirrt, und ich wusste nicht weiter, aber jetzt verstehe ich es. Kannst du mir bitte noch ein bisschen helfen, wie geht das mit der produktzerlegung?

anonymous

19:51 Uhr, 20.10.2009

Jede Polynomfunktion

f (x) = a x^{n} + b x^{n - 1} + c x^{n - 3} . . .

kann in die Form

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) . . .

gebracht werden. Wobei

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . .

Die Nullstellen der Funktion sind.

Die Funktion kann also diese Form besitzen:

p (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Wobei du nurnoch für

x_{1}

und

x_{2}

die komplexen Nullstellen und für a 5 einsetzen musst.

georg-b aktiv_icon

19:56 Uhr, 20.10.2009

also hab ich dann am ende

f (x) = 5 (x - 0,6 + 0,2 i) (x - 0,6 - 0,2 i)

anonymous

19:57 Uhr, 20.10.2009

Richtig.

georg-b aktiv_icon

19:58 Uhr, 20.10.2009

Danke vielmals! Echt super!

Ich hab noch so ein beispiel, aber das versuch ich zuerst mal ganz alleine zu schaffen!

Schönen Abend noch falls ich mich nicht mehr melde! :-)

georg-b aktiv_icon

20:28 Uhr, 20.10.2009

Ich habe nur noch eine kurze frage, wie finde ich die nullstellen von einem polynom dritten grades?

anonymous

20:36 Uhr, 20.10.2009

Da gibt es mehrere Möglichkeiten:

Algebraisch:
Durch Substituion auf die reduzierte Form (

z^{3} + p z + q = 0

) bringen und mit den Cardanischen Formeln lösen.
http//de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Numerisch:
Durch Näherungsverfahren, wie dem Newtonschen Näherungsverfahren oder dem Intervallhalbierungsverfahren nähern.
http//de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
http//de.wikipedia.org/wiki/Intervallhalbierungsverfahren

Raten:
Zahlen raten und überprüfen ob diese Nullstellen sind.

Programme:
CAS/Taschenrechner/Software mit der Gleichung füttern.

Wenn du eine Nullstelle gefunden/gegeben hast kannst du auch eine Polynomdivision durchführen, um eine Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

zu erhalten, mit welcher du die restlichen Nullstellen errechnen kannst.

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