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Produktionsfunktion Veränderungsrate

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Tags: Finanzmathematik

 
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13:10 Uhr, 22.01.2022

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Hallo liebe Community

Ich habe schwierigkeiten die Prozentuale Änderungsrate bei einer Produktionsfunktion zu verstehen, dazu habe ich 2 Aufgaben:

a) Eine Produktionsfunktion P(x) sei homogen vom Grad 3 bezüglich der Menge x des Inputfaktors. Zeigen Sie das:

Wenn x um 2% steigt, dann steigt P um 6,1208%

b)Die Elastizität einer Produktionsfunktion P(x) bezüglich der Menge x des Inputfaktors betrage 0,27 an der Stelle x0=63. Welche Schlussfolgerung ist dann zutreffend?

> Wenn x auf 65,52 steigt, dann steigt P um ungefähr 1,08%
> Wenn x verdoppelt wird, dann steigt P ungefähr auf das 1,2058 Fache
> Wenn x auf 62 sinkt, dann sinkt P um ungefähr 27%
> Wenn P um 2% sinkt, dann sinkt x um ungefähr 0,54%

Wäre für jeden Ansatz dankbar :-)


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pivot

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14:30 Uhr, 22.01.2022

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Hallo,

kurz zu a). Eine Produktionsfunktionsfunktion P(x) hat den Homogenitatsgrad von 3 wenn folgendes gilt: P(λx)=λ3P(x). Beispielhaft gilt das für die Produktionsfunktion P(x)=x3.

Gruß
pivot
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14:43 Uhr, 22.01.2022

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Okay perfekt vielen Dank :-) Damit kann ich mit einem einfachen Beispiel die 6,12% nachweisen. Gibt es vielleicht noch so einen guten Tipp für die b? :-D) ?
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pivot

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15:43 Uhr, 22.01.2022

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Ja. Du musst nicht zwingend die konkrete Funktion x3 verwenden. Rein von der Definition her genügt es zu zeigen, dass folgendes gilt: P(λx)P(x)-1=λ3P(λx)P(x)-1=λ3-1=1,023-1=0,061208
Letztendlich kommt es aber auf das selbe hinaus. Es gibt aber eben auch andere Funktionen mit eimem Homogenitätsgrad von 3, z.B. P(x)=4x3

Bei der b) würde ich mich an der Definition der Elastizität orientieren:

ɛp,x:=ΔppΔxx=0,27

Für den ersten Fall ergibt sich die Gleichung

Δpp2,5263=0,27

Nun die Gleichung nach Δpp (relative Veränderung) auflösen.
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12:25 Uhr, 23.01.2022

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Okay also Δp/p =0,272,5263=0,0108

Wenn ich jetzt die Aussagen kontrollieren würde und x=63 also verändern würde dann bekomme ich doch nur informationen darüber wie sich Δp/p verändert und nicht p an sich oder? Ich glaube dieses Δp verwirrt mich hier.
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pivot

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14:55 Uhr, 23.01.2022

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Es verändert sich nicht ΔPP, sondern ΔPP ist die (relative) Veränderung.
Wenn z.B. P um 50% steigt, dann ist ΔP=0,5P und somit ist ΔPP=0,5PP=0,5
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17:36 Uhr, 23.01.2022

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Oh mein Gott wie dumm von mir. Du hast mir ja schon quasi die Lösung gegeben richtig? 2,52 ist ja quasi die Erhöhung auf 65,52 vomit die relative Veränderung 0,0108 wäre was was 1,08% sind womit die erste Aussage richtig ist. Habe ich das richtig verstanden?
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15:02 Uhr, 24.01.2022

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Das heißt wenn ich eine Veränderung vornehmen gebe ich diese Veränderung für Δx bzw Δp ein. (Ich hatte mich schon gefragt woher du die 2,52 her hast, die ist also die Erhöhung von 63 auf 65,52.)
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pivot

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16:47 Uhr, 24.01.2022

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Genau richtig. ΔP ist die absolute Veränderung. Also die Differenz von 65,52 und 63, was 2,52 ist. Die relative Veränderung ist ΔPp=2,5263=0,04=4%.
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17:01 Uhr, 24.01.2022

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Okay habs verstanden du bist der beste ! Vielen vielen Dank :-)
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pivot

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17:05 Uhr, 24.01.2022

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gerne. Freut mich, dass das klar ist.